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わかりMATHトップ > 場合の数 > 【必修】4-10 多項式の項の個数と二項定理
【順列・組み合わせ】

【必修】4-10 多項式の項の個数と二項定理 質問する

次の数を求めよ。

(1) ` (a+b+c+d)(x+y+z) ` を展開したときの項の個数 質問する

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実際に展開してみても解けるけど、時間がかかるので

「展開とはどのような作業なのか」をよく考えて、個数を計算しよう。

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(a+b+c+d)(x+y+z)の展開の図

展開するときは必ずそれぞれのカッコ内から

一つずつ文字を選んでかけているよね。

 

つまり、一つ目のカッコでa~dのどれかを選び、

二つ目でx~zのどれかを選ぶ、

これらの組合せを全通りやって羅列するのが展開だね。

一つ目のカッコの文字の選び方が4通り、二つ目が3通りなので

` 4 xx 3 = 12 ` 個 //

展開とは、それぞれのカッコから要素を選んで組み合わせる(掛け合わせる)

という試行の全てのパターンを書き出すこと!

(2) ` (a+b)(c+d)(x+y) ` を展開したときの項の個数 質問する

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展開という作業を(1)と全く同じように考えれば解けるはず。

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(a+b)(c+d)(x+y)の展開の図

普段は3つのカッコを一度に外すような計算はしていないけど

こちらも結局は「それぞれのカッコから何を選ぶか」という試行の

全パターンを列挙しているということに変わりは無いんだ。

それぞれのカッコの要素の選び方は、どれも2通りなので

` 2 xx 2 xx 2 = 8 ` 個 //

(3) ` (x^2+3)^7 ` を展開したときの ` x^6 ` の係数 質問する

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(1)(2)と同じように考えたいけど、

今回は全てのカッコの中が同じなんだね。

 

` x^6 ` の係数ということは、

7個のカッコのうちから `x^2` を3回だけ選んだ場合の係数

が分かればいいんだ。

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(x^2+3)^7の展開図

` x^6 ` の係数は、全てのカッコのうちから

`x^2` を3回だけ選んだ場合の係数なので

まずはそう選んだ場合の掛け合わせた結果を計算しよう。

全てのカッコのうちから `x^2` を3回、 `3` を4回選んだ場合の掛け合わせた結果は

 

` x^2 xx x^2 xx x^2 xx 3 xx 3 xx 3 xx 3 = 81x^6 `

次にそのような選び方がいくつあるかを考えよう。

7つのカッコのうち `x^2` を3回だけ選ぶ選び方は

 

` {::}_7C_3 = (7 xx 6 xx 5)/(3 xx 2 xx 1) = 35 `

つまり、 ` 81x^6 ` という項が35個出てくるということだね。

`x^6` の係数は、これら35個の `81` を全て足し合わせるので、

` 81 xx 35 = 2835 ` //

二項式を何乗かした ` (a + b)^n ` という形を展開したとき

それぞれの項を ` C ` を使って表すことを二項定理と呼ぶよ。

 

記号が沢山で難しそうに見えるけど、

やっていることはこの問題そのままだよ。

(4) ` (x/2-1/x^2)^9 ` の定数項の係数 質問する

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定数項になるためには左の項と右の項を

それぞれいくつ選べばいいのかが分かればいいんだけど、

それが一目では分かりにくい問題だね。

左の項をa個選ぶ、と置いて式を立てて求めてしまおう。

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` x/2 ` を ` a ` 個( ` -1/x^2 ` は ` 9-a ` 個)選んだときに定数項になるとする。

 

`x` の乗数に着目して、定数項になるためには `x` の0乗になればいいので

 

` x^a xx x^{-2 xx (9-a)} = x^0 `

 

` iff a + {-2 xx (9-a)} = 0 `

 

` iff 3a = 18 iff a = 6 `

` x/2 ` を6個( ` -1/x^2 ` は3個)選ぶと定数項になることが分かった。

 

後は(3)と同じく、まずはそう選んだ場合の

掛け合わせた結果を計算しよう。

` x/2 ` を6個選んだ場合の掛け合わせた結果は

 

` (x/2)^6 xx (-1/x^2)^3 = -1/2^6 `

次にそのような選び方がいくつあるかを考えよう。

9つのカッコから ` x/2 ` をちょうど6個選ぶ選び方は

 

` {::}_9C_6 = {::}_9C_3 = (9 xx 8 xx 7)/(3 xx 2 xx 1) = 84 `

 

これらを全て足し合わせるので、 ` -1/2^6 xx 84 = -21/16 ` //

 

何個選ぶか分かりにくい問題は、

選ぶ数をa個と置いて、aを求めることから始めよう。

小まとめ 質問する

・式の展開は、それぞれのカッコからどれとどれを掛け合わせるかを

 全パターン列挙することだと考えよう

二項定理は「どのカッコから持ってくるか」を考えるから ` C ` を使う

脚注
二項定理
`(ax + by)^n = sum (k=1)^(n) {::}_nC_k a^kb^(n-k)x^ky^(n-k)`
つまり、 `x^ky^(n-k)` の項の係数は
`{::}_nC_k a^kb^(n-k)` になるということ。

もっと簡単にいうと、 `x^k` の係数は
`x` をk個選んだ場合なので、
その選び方 `{::}_nC_k` と、選んだときのそれぞれの係数
`a^kb^(n-k)` を掛け合わせているだけ。

関連ページ

多項式の積を展開したときの項の個数や係数に関する問題のまとめ。
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