Pagetop

高校数学の解き方がわかります|わかりMATH

サイトマップ
わかりMATH

ようこそ ゲスト さん

無料会員登録・ログイン

わかりMATHトップ > 二次関数 > 【必修】2-6 二次関数のグラフとx軸などとの位置関係
【】

【必修】2-6 二次関数のグラフとx軸などとの位置関係 質問する

` y=x^2-2x+k ` について以下を求めよ。

(1) ` k = -5 ` のときの ` x ` 軸との共有点の個数。 質問する

ヒント1を見る
ヒントを隠す

与えられた関数の式に ` k = -5 ` を代入すると未知の定数はなくなるのでグラフは描けるけど、素直にグラフを描くよりも早い方法があるよ。

定石解を見る
答えを隠す

` x ` 軸との共有点がどうなっているかを見るために

平方完成してグラフを描いても解けるけど、少し時間がかかる。

` x ` 軸というのは直線 ` y=0 ` のことだよね。

` y = x^2 - 2x - 5 ` と ` x ` 軸(つまり直線 ` y=0 ` )との共有点の個数は

関数と方程式の関係より連立方程式 ` y=x^2-2x-5, y=0 ` の解の個数と同じになるので、

二次方程式 ` 0 = x^2-2x-5 ` の解の個数を調べる。

このように、問題を読み替えることを「問題の帰着」と呼ぶよ。

問題の帰着を行うときは必ず、答えるべき値は何か、問題をどう読み替えたかをメモすること。

 

二次方程式の解の個数は判別式によって分かるよね。

表:Dの正負と解の個数

グラフのイメージ x軸と異なる2点で交わる x軸と接する x軸と共有点を持たない
判別式Dの値 `D>0` `D=0` `D lt 0`
解の個数 2個 1個 (重解) 0個 (解なし)

` D=(-2)^2-4 xx 1 xx (-5)=4+20 > 0 `

 

判別式が正なので解の個数は2個になる。

関数と方程式の関係より解の個数と共有点の個数は一致するので、共有点の個数は2個となる。

「 ` x ` 軸との共有点」と言われたら「 ` y = 0 ` を代入したときの ` x ` の解」と読み替える。

「 ` x ` 軸との共有点の個数」なら「 ` x ` の解の個数」が分かればいいので判別式を使う。

(2) ` x ` 軸の共有点の個数が2個になるような ` k ` の値。 質問する

ヒント1を見る
ヒントを隠す

関数と方程式の関係より、 ` x ` 軸との共有点の個数は、 ` y=0 ` になるような ` x ` の値の個数ということ。

定石解を見る
答えを隠す

` y=x^2-2x+k ` は、 ` k ` があるためにグラフを描けないので、同じように問題の帰着をしてみよう。

` 0=x^2-2x+k ` の ` x ` の解が ` 2 ` 個になるような ` k ` の値を求める。

二次方程式の解の個数は、判別式の正負によって決まるよ。

表:Dの正負と解の個数

グラフのイメージ x軸と異なる2点で交わる x軸と接する x軸と共有点を持たない
判別式Dの値 `D>0` `D=0` `D lt 0`
解の個数 2個 1個 (重解) 0個 (解なし)

解の個数が ` 2 ` 個なので判別式を ` D ` とすると、 ` D>0 ` となる。

` D=(-2)^2-4*1*k=4-4k > 0 `

` k lt 1 `

関数と方程式の関係より、関数 `y = f(x)` と ` x ` 軸との共有点の個数は、 ` y=0 ` になるような ` x ` の値の個数と同じ。

その個数は、 ` y=0 ` を代入して出来た二次方程式の判別式の正負と上の表のように対応する。

(3) ` x ` 軸の共有点の個数は, ` k ` の値によりどう変わるか。 質問する

定石解を見る
答えを隠す

(1),(2)と同様、問題を読み替えてみる。

` 0=x^2-2x+k ` の ` x ` の解の個数が ` k ` の値によってどう変わるかを調べる

` D=(-2)^2-4*1*k=4-4k `

表:Dの正負と解の個数

グラフのイメージ x軸と異なる2点で交わる x軸と接する x軸と共有点を持たない
判別式Dの値 `D>0` `D=0` `D lt 0`
解の個数 2個 1個 (重解) 0個 (解なし)

` x ` 軸との共有点の個数は

` 4-4k >0` つまり ` k lt 1 ` のとき2個、

` 4-4k =0` つまり ` k = 1 ` のとき1個、

` 4-4k lt 0` つまり ` k > 1 ` のとき0個 となる。

グラフに描けないと言ったけど、実はグラフでイメージする解法があるよ。

問題の読み替えが難しいけど、理解できれば直感的に分かりやすいし、発展的な問題では知っておく必要があるので、下の重要別解を必ずチェックしてね。

重要別解を見る
答えを隠す

まずは今まで通り、問題を読み替えてみる。

` 0=x^2-2x+k ` の ` x ` の解の個数が ` k ` の値によってどう変わるかを調べる。

グラフ上で図的にイメージするためには ` y=f(x) ` の形の中に未知の定数を含まないようにしたいので、上の方程式から未知の定数を分離してみよう。

` 0=x^2-2x+k ` の解の個数

` iff -x^2+2x=k ` の解の個数 (←グラフを描くために未知の定数 ` k ` を分離した)

` iff y=-x^2+2x ` と ` y=k ` との共有点の個数 (←関数と方程式の関係より)

` y=-x^2+2x = -(x-1)^2 +1` なので、頂点が `(1, 1)` の上に凸なグラフになるよね。

 

このように、未知の定数 `k` だけを分離することで、

グラフ上で `y=k` の直線のみを動かして共有点の個数を調べられるんだ。

y=-x^2+2xとy=kのグラフ

図より、 ` k lt 1 ` のとき2個、 ` k = 1 ` のとき1個、 ` k > 1 ` のとき0個となる。

3次関数など、二次関数より複雑な関数の問題になるとこのテクニック以外では解けなくなるので必ず覚えておいてね。

未知の定数があるときは「関数 `f(x)` と ` x ` 軸との共有点」

 →「 ` y=0 ` を代入した ` x ` の二次方程式の解」

 →「未知の定数を移行した二次方程式 ` g(x)=k ` の解」

 →「二次関数 ` y=g(x) ` と ` y=k ` のグラフとの共有点」

という読み替えを行う。

 

※ `g(x)` とは、 `f(x)` とは別の関数、という意味だよ。

小まとめ 質問する

「関数 `y=f(x)` と ` x ` 軸との共有点の個数」は

「 ` y=0 ` を代入した ` x ` の二次方程式の解の個数」と読み替え、判別式で調べる。

 

与えられた式の中に未知の定数があるときは、判別式を使っても良いけど、

「二次方程式」

 →「未知の定数を移項した二次方程式 ` g(x)=k ` の解」

 →「二次関数 ` y=g(x) ` と ` y=k ` のグラフとの共有点」

というように問題の帰着を行うと簡単に解けるよ。

 

問題の帰着を行うときは必ず、答えるべき値は何か、問題をどう読み替えたかをメモしよう。

 

一通り解けたら、【まとめ】2-6 二次関数のグラフと ` x ` 軸などとの共有点の個数を確認しよう。

脚注
平方完成
`y = a(x-p)^2 +q` という形に変形すること。
この形にすると頂点が `(p, q)` と簡単に見分けることができる。
関数と方程式の関係
2つの関数を連立方程式と見たときの解は、その2つのグラフの交点と同じになるよ。
問題の帰着
与えられた問題を言いかえること。見たことのない問題でも、よく見ると解いたことのある問題に置き換えられることがよくあるよ。
判別式
二次方程式の判別式とは、 `D=b^2 -4ac` のこと。
二次方程式の解の公式の `sqrt  ` の中身と同じ。
関数と方程式の関係
`x` 軸を式で表すと直線 `y = 0` だから、`y = f(x)` のグラフと `x` 軸との交点は、`y = f(x)` と `y = 0` の連立方程式の解と同じになるよ。
未知の定数
「決まった値(定数)」を取ることはわかっているけど、「どの値なのかはわからない(未知)」という文字のこと。
【まとめ】2-6 二次関数のグラフと ` x ` 軸などとの共有点の個数
このカテゴリの見分け方と解き方をまとめてあるよ。
ページトップへ