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わかりMATHトップ > 二次関数 > 【必修】2-5 二次関数の最大、最小(未知の定数あり)
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【必修】2-5 二次関数の最大、最小(未知の定数あり) 質問する

次の関数の最大値、最小値を求めよ。

ただし、 ` a ` は任意の実数(未知の定数)とする。

このカテゴリは少し複雑なので、このカテゴリを初めて見る人はまずは答えを写してみよう。

複雑と言っても、順を追って行けばすぐに理解できるから心配しないで。

 

「場合分け」の問題を自分で解けるようになるには、「なぜここで場合分けする必要があるのか?」ということを必ず理解する必要があるよ。

 

ここでは、場合分けをするときの考え方をできるだけ詳しく順を追って解説しているので、1行ずつ「なぜここで場合分けをする必要があるのか?」を理解しながら進んでいってね。

(1) ` y = x^2 -4x +1 ( a lt= x lt= a+2) ` 質問する

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二次関数がどこで最大値・最小値を取るかは、「軸」と「定義域」の位置関係によって5つの場合があるよ。

この「5つの場合」がすぐにイメージできない場合は、まずは2_4「二次関数の最大、最小(未知の定数なし)」をマスターしよう。

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この問題は、二次関数のグラフは固定されていて、定義域が動く問題だね。

 

与えられた定義域は ` a lt= x lt= a+2 ` なので、 ` a ` が段々大きくなると、定義域が段々右へ動いていくことがわかるね。

二次関数が固定されていて、定義域が動く
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定義域全体が軸よりも左側にある場合

まず最初に、右の図のように、「定義域全体が軸の左側にある場合」を考えよう。

このときは、定義域の左端で最大値、定義域の右端で最小値をとることがわかるね。

 

では、この場合がいつまで続くかを考えると、「定義域の右端が軸に重なったとき」になるよね。

 

与えられた二次関数の軸は、 ` x = - b / (2a) = - (-4) / (2 xx 1) = 2 ` なので、「定義域の右端( ` x = a+2 ` )が重なるまで」という条件を式で表すと ` a+2 lt= 2 ` つまり ` a lt= 0 ` となるね。

(i) ` a lt= 0 ` の場合

定義域の左端( ` x = a ` )で最大値を取るので

` MAX = f(a) = a^2 -4a +1 `  (← ` x ` に ` a ` を代入した。)

 

定義域の右端( ` x = a+2 ` )で最小値を取るので

` min = f(a+2) = (a+2)^2 -4(a+2) +1 `  (← ` x ` に ` a+2 ` を代入した。)

    ` = a^2 +4a +4 -4a -8 +1 `  (←展開した。)

    ` = a^2 -3 `  (←同類項を整理した。)

定義域の中に軸が入ってきた場合

次に、定義域が(i)よりも少し右に動いたとき、つまり「定義域の中に軸が入ってきた場合」を考えよう。

 

軸が定義域の中にあるときは、最小値はずっと頂点だね。

 

最大値は、右の図では定義域の左端になるけど、定義域がさらに右側に動くとそのうち右端の方が大きくなるよね。

 

二次関数のグラフは左右対称だから、「軸が定義域のちょうど真ん中に来たとき」に最大値が入れ替わるよ。

 

軸はさっき求めた ` x = 2 ` で、定義域の真ん中は、

` x ={a + (a+2)}/2 = a+1 ` だから、最大値が入れ替わるのは

` a+1 = 2 ` つまり ` a = 1 ` のときだね。

(ii) ` 0 lt a lt 1 ` の場合

ちょうど真ん中に来たときは、定義域の両方の端で最大値をとるから、これは特別な場合として(iii)で扱うので、(ii)では ` 0 lt a lt= 1 ` とせず、等号を含まない形にするよ。

定義域の左端( ` x = a ` )で最大値を取るので

` MAX = f(a) = a^2 -4a +1 `

 

頂点( ` x = 2 ` )で最小値を取るので

` min = f(2) = 2^2 -4 xx 2 +1 `  (← ` x ` に ` 2 ` を代入した。)

    ` = 4 -8 +1 `  (←整理した。)

    ` = -3 `

定義域の真ん中に軸がある場合

次に、定義域のちょうど真ん中に軸がある場合を考えよう。

 

二次関数のグラフは軸について左右対称なので、この場合には定義域の両端で最大値を取るよ。

 

軸は ` x = 2 ` で、定義域の真ん中は、 ` x = a+1 ` だから、軸が定義域の真ん中に来るのは ` a+1 = 2 ` つまり ` a = 1 ` のときだね。

(iii) ` a = 1 ` の場合

定義域の両端( ` x = 1, 3 ` )で最大値を取るので

` MAX = f(1) = f(3) = 1^2 -4 xx 1 +1 `  (← ` x ` に ` 1 ` と ` 3 ` のどちらを代入しても同じ答えになるよ。)

    ` = 1 -4 +1 `

    ` = -2 `

この場合のように、 ` a ` の値が1つの値に決まっているときは、 ` a ` を用いて答えるのではなく、具体的な数値で求めるよ。

頂点( ` x = 2 ` )で最小値を取るので(ii)と同様に、

` min = -3 `  (← (ii)と同じく、 ` x=2 ` を代入して整理した。)

定義域の左半分に軸がある場合

次に、定義域が(iiii)よりもさらに右に動いたとき、つまり「定義域の左半分に軸がある場合」を考えよう。

 

これは、(ii)を左右逆にした形になっているね。

最大値を取る場所も左右入れ替わっていることに注目しよう。

つまり、最大値が定義域の右端で、最小値が頂点だね。

 

この場合がいつまで続くかを考えてみると、軸が定義域から外れると、最小値を取る場所が頂点ではなくなるよね。

 

軸は ` x = 2 ` で、定義域の左端は、 ` x = a ` だから、 ` a=2 ` になるまでこの場合が続くね。

(iv) ` 1 lt a lt 2 ` の場合

定義域の右端( ` x = a+2 ` )で最大値を取るので

` MAX = f(a+2) = (a+2)^2 -4(a+2) +1 `  (← ` x ` に ` a+2 ` を代入した。)

    ` = a^2 +4a +4 -4a -8 +1 `  (←展開した。)

    ` = a^2 -3 `  (←同類項を整理した。)

 

頂点( ` x = 2 ` )で最小値を取るので(ii)と同様に、

` min = -3 `  (← (ii)と同じく、 ` x=2 ` を代入して整理した。)

定義域全体が軸よりも右側にある場合

最後に、定義域全体が軸よりも右側にある場合を考えよう。

定義域が軸を超えると、あとはどこまで行っても定義域の右端が最大、左端が最小になるよね。

(v) ` 2 lt= a ` の場合

定義域の右端( ` x = a+2 ` )で最大値を取るので(iv)と同様に

` MAX = f(a+2) = a^2 -3 `  (← ` x ` に ` a+2 ` を代入して整理した。)

 

定義域の左端( ` x = a ` )で最小値を取るので

` min = f(a) = a^2 -4a +1 `

定義域が動く二次関数の最大・最小を求めたいときは、軸と定義域の位置関係によって5つの場合に分けて考える。

 

場合分けするときは、ただ漠然と分けるのではなく、「なぜここで場合分けの必要があるのか?」を考えながら練習する。

(2) ` y = 3x^2 -6ax +4 ( 1 lt= x lt= 3) ` 質問する

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今度は、定義域は固定されていて、二次関数の中に未知の定数が入っているね。

まずは平方完成して、軸の位置を求めてみよう。

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この問題は、下の図のように、定義域は ` 1 lt= x lt= 3 ` で動かないけど、平方完成してみると、軸の式に `a` が含まれるので、 ` a ` の値が変わると、グラフの軸の位置が動いていくよ。

 

グラフが動く問題も、基本的な考え方は(1)の定義域が動く問題と同じで、軸と定義域の位置関係によって5つの場合を順番に考えていくよ。

定義域が固定されていて、二次関数が動く
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軸が定義域よりも左側にある場合

まず最初に、右の図のように、「軸が定義域よりも左側にある場合」を考えよう。

このときは、定義域の右端で最大値、定義域の左端で最小値をとることがわかるね。

 

この状態から軸が段々右に動いていって、軸が定義域にさしかかると、最小値を取る場所が定義域の左端から頂点に変わるね。

 

まずは平方完成して軸の場所を求めよう。

与式を平方完成すると、

` y = 3x^2 -6ax +4 `

  ` = 3(x^2 -2ax) +4 `   (← ` 3 ` でくくった。)

  ` = 3{(x -a)^2 -a^2} +4 `  (←二乗の形を作った。)

  ` = 3(x -a)^2 -3a^2 +4 `  (←{ } を外して整理した。)

 

従ってこの二次関数の軸は ` x=a ` 、頂点は ` (a, -3a^2 +4) `

定義域の左端は ` x=1 ` なので、 ` - oo ` (マイナス無限大)から ` a ` が段々大きくなって、 ` a =1 ` までが最初の場合分けになるね。

(i) ` a lt= 1 ` の場合

定義域の右端で最大値を取るので

` MAX = f(3) = 3 xx 3^2 -6a xx 3 +4 `  (← ` x =3 ` を代入した。)

    ` = 27 -18a +4 `  (←整理した。)

    ` = -18a +31 `  (←整理した。)

 

定義域の左端で最小値を取るので

` min = f(1) = 3 xx 1^2 -6a xx 1 +4  (← ` x =3 ` を代入した。)

    ` = 3 -6a +4 `  (←整理した。)

    ` = -6a +7 `  (←整理した。)

軸が定義域の左半分にある場合

次に、軸が定義域の中に入ってきたときを考えよう。

このときは最小値は常に頂点になるよね。

最大値は、軸が定義域の左右どちらに寄っているかで変わってくるね。

 

軸が定義域のちょうど真ん中( ` x = (1+3)/2 = 2 ` )のときは、定義域の両端で最大値を取るので、特別な場合として扱うよ。

(ii) ` 1 lt a lt 2 ` の場合

定義域の右端で最大値を取るので(i)と同様に

` MAX = f(3) = -18a +31 `  (← ` x =3 ` を代入して整理した。)

 

頂点で最小値を取るので

` min = f(a) = 3 a^2 -6a xx a +4 `  (← ` x =a ` を代入した。)

    ` = -3a^2 +4 `  (←整理した。)

軸が定義域の中央にある場合

軸が定義域の中央にある場合は、定義域の両端で最大値を取るね。

(iii) ` a = 2 ` の場合

定義域の両端( ` x =1, 3 ` )で最大値を取るので

` MAX = f(1) = 3 xx 1^2 -6 xx 2 xx 1 +4 `  (← ` x =1, a=2 ` を代入した。)

    ` = 3 -12 +4 `  (←整理した。)

    ` = ‐5 `

 

頂点で最小値を取るので(ii)と同様に

` min = f(a) = -3a^2 +4 `  (← ` x =a ` を代入して整理した。)

    ` = -3 xx 2^2 +4 `  (←さらに ` a =2 ` を代入した。)

    ` = -8 `  (←整理した。)

軸が定義域の右半分にある場合

次に、軸が定義域の右半分にある場合を考えよう。

(ii)の場合とちょうど左右反対になっていて、定義域の左端で最大値、頂点で最小値を取ることがわかるね。

 

軸が定義域から出ると最小値の場所が頂点ではなくなるので、定義域の右端( ` x = 3 ` )までの場合になるよ。

(iv) ` 2 lt a lt 3 ` の場合

定義域の左端で最大値を取るので

` MAX = f(1) = 3 xx 1^2 -6a xx 1 +4 `  (← ` x =1 ` を代入した。)

    ` = 3 -6a +4 `  (←整理した。)

    ` = -6a +7 `  (←整理した。)

 

頂点で最小値を取るので(ii)と同様に

` min = f(a) = -3a^2 +4 `  (← ` x =a ` を代入して整理した。)

軸が定義域よりも右側にある場合

軸が定義域から出てしまえば、あとは ` a ` がどれだけ大きくなっても、図のように、定義域の左端で最大値、右端で最小値を取るよね。

 

(v) ` 3 lt= a ` の場合

定義域の左端で最大値を取るので(iv)と同様に

` MAX = f(1) = -6a +7 `  (← ` x =1 ` を代入して整理した。)

 

定義域の右端で最小値を取るので

` min = f(3) = 3 xx 3^2 -6a xx 3 +4 `  (← ` x =3 ` を代入した。)

    ` = 27 -18a +4 `  (←整理した。)

    ` = -18a +31 `  (←整理した。)

軸に未知の定数が含まれる二次関数の最大・最小を求めたいときも、軸と定義域の位置関係によって5つの場合に分けて考える。

小まとめ 質問する

二次関数の式や定義域に未知の定数を含む場合の最大値、最小値を求める問題は、軸と定義域の位置によって5つの場合に分けて考える。

 

最大値、最小値となる場所は、定義域の右端、左端、頂点のどれかなので、やみくもに場合分けするのではなく、最大値、最小値を取る場所がどのように変わるかを考えながら場合分けする場所を決める。

 

一通り解けたら、【まとめ】2-5 二次関数の最大、最小(未知の定数あり)を確認しよう。

脚注
未知の定数
「決まった値(定数)」を取ることはわかっているけど、「どの値なのかはわからない(未知)」という文字のこと。
定義域
「定義域」とは、「 `x` が動く範囲」のこと。
2_4「二次関数の最大、最小(未知の定数なし)」
二次関数最大・最小を求める問題のうち、関数の式にも定義域にも未知の定数がないものを扱うカテゴリ。
二次関数のグラフは左右対称
二次関数は、必ず軸について左右対称になるよ。
平方完成
`y = a(x-p)^2 +q` という形に変形すること。
この形にすると頂点が `(p, q)` と簡単に見分けることができる。
二次関数の軸
軸を求めるときは、平方完成してもいいけど、 `x = -b/(2a)` という式ですぐに求められるよ。
【まとめ】2-5 二次関数の最大、最小(未知の定数あり)
このカテゴリの見分け方と解き方をまとめてあるよ。
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