Pagetop

高校数学の解き方がわかります|わかりMATH

サイトマップ
わかりMATH

ようこそ ゲスト さん

無料会員登録・ログイン

わかりMATHトップ > 二次関数 > 【必修】2-4 二次関数の最大、最小(未知の定数なし)
【】

【必修】2-4 二次関数の最大、最小(未知の定数なし) 質問する

次の関数の最大値、最小値があれば、それを求めよ。

(1) `y=x^2-4x-3` 質問する

ヒント1を見る
ヒントを隠す

式だけでは判断できないので、グラフから読み取ろう。

グラフが正確に描けるかな?

 

最大値、最小値が「あれば」というのは、

最大値、最小値がない場合もある」ということ。

まず、最大値、最小値があるかどうかを見極めないといけないよ。

定石解を見る
答えを隠す

二次関数の最大・最小問題は、まずはグラフを描くところから。

グラフを描くためには、平方完成をしておく必要があるね。

`y = x^2-4x-3`

 `= (x-2)^2-4-3` ←二乗の形を作った。

 `=(x-2)^2-7` ←定数をまとめた。

 

よって、頂点は点 `(2, 7)` で、下に凸なグラフとなる。

y=x^2-4x-3のグラフ

グラフは右図のようになるので、頂点で最小値を取ることがわかるね。

 

また、このグラフの定義域は全ての実数だから、最大値は存在しない。

このグラフのように、`x` が大きくなると `y` の値もどこまでも大きくなる場合は、「最大値は存在しない」と表すんだ。

 

よって、

 最大値 なし

 最小値 `-7` ( `x=2` のとき)

(2) `y=-3x^2-12x-4` 質問する

ヒント1を見る
ヒントを隠す

(1)と同じく、グラフを書くために平方完成が必要。

今度は上に凸の関数なので、グラフの向きに注意!

定石解を見る
答えを隠す

`y = -3x^2-12x-4`

 `= -3(x^2+4x)-4` ← `-3` でくくった。

 `= -3{(x+2)^2-4}-4` ←二乗の形を作った。

 `= -3(x+2)^2+8` ←定数をまとめた。

 

y=-3x^2-12x-4のグラフ

グラフは右図のようになる。グラフが上に凸なので、頂点で最大値を取ることがわかる。

`x^2` の係数をしっかり確認しよう!

↑グラフの向きが変わると、最大、最小が入れ替わるため。

答えは、

 最大値 `8` ( `x=-2` のとき)

 最小値 なし

(3) `y=2x^2+4x+1 (0 lt= x lt=1)` 質問する

ヒント1を見る
ヒントを隠す

定義域が加わったが、まずは(1)(2)同様グラフを描くために平方完成する。

定石解を見る
答えを隠す

`y = 2x^2+4x+1`

 `= 2(x^2+2x)+1` ← `2` でくくった。

 `= 2{(x+1)^2-1}+1` ←二乗の形を作った。

 `= 2(x+1)^2-1` ←定数をまとめた。

y=2x^2+4x+1のグラフ

頂点 `(-1, -1)` 、下に凸の上のグラフになる。

 

今回は定義域が指定されているので、グラフに書き込んでみると、

`x = 1` で最大値、`x = 0` で最小値をとることがわかる。

 

グラフから

 `MAX = f(1) = 2(1+1)^2-1 = 8-1 = 7` 、 ←「MAX」とは最大値のこと

 `min = f(0) = 2 xx 0^2 +4 xx 0 +1 = 1` ←「min」とは最小値のこと

(4) `y=x^2+1 (-1 lt= x lt=3)` 質問する

ヒント1を見る
ヒントを隠す

平方完成しなくてもグラフが書けるよ。

定石解を見る
答えを隠す
y=x^2+1のグラフ

この式は `y=x^2` のグラフを `y` 軸方向に `+1` 平行移動したものなので、グラフは右図のようになる。

 

定義域は `-1 lt= x lt= 3` なので、グラフに書き込むと

`x=3` のとき最大値、`x=0` (頂点)で最小値をとることがわかる。

 

よって、グラフより

 `MAX = f(3) = 3^2+1 = 10` 、 ←「MAX」とは最大値のこと

 `min = f(0) = 0^2+1 = 1` ←「min」とは最小値のこと

小まとめ 質問する

脚注
最大値、最小値
「関数 `y = f(x)` の最大値、最小値を求める」とは、「 `x` の値が動いたとき、 `y` の値が最大、最小となる場所を求める」こと。
グラフ
グラフの描き方は【必修】2-1 二次関数のグラフの描き方・読み方 へ。
平方完成
`y = a(x-p)^2 +q` という形に変形すること。
この形にすると頂点が `(p, q)` と簡単に見分けることができる。
定義域
「定義域」とは、「 `x` が取りうる値の範囲」のこと。
上に凸
「上に凸」とは、文字通り「上側に出っぱった状態」のこと。
二次関数の場合は、「 `x^2` の係数が負」であることと同じ。
`x` が大きくなるにつれて傾きが段々減少することを言います。
下に凸
「下に凸」とは、「下側に出っぱった状態。」のこと。
二次関数の場合は、「 `x^2` の係数が正」であることと同じ。
`x` が大きくなるにつれて傾きが段々増加することを言います。
平行移動
平行移動を復習する場合は【必修】2-2 二次関数のグラフの平行移動・対称移動 へ。
【まとめ】2-4 二次関数の最大・最小(未知の定数なし)
このカテゴリの見分け方と解き方をまとめてあるよ。

関連ページ

次の関数の最大値,最大値があれば,それを求めよのまとめ。
ページトップへ