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【必修】2-3 二次関数の決定 質問する

グラフが次の条件を満たすような二次関数を求めよ。

(1) 頂点が点 ` (1, 2) ` で、点 ` (3, -2) ` を通る。 質問する

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y = a(x-p)^2 +qの特徴

二次関数の表し方は、 ` y = a(x-p)^2 +q ` 、 ` y = a(x- alpha)(x - beta) ` 、 ` y = ax^2 +bx +c ` などがあるよ。

この中から、使いやすそうな形を選んで式を立てよう。

頂点がわかっている場合は、ほぼ必ず ` y=a(x-p)^2+q` の形(二次関数の標準形)を使うよ。

y = a(x- alpha)(x - beta)の特徴
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頂点が点 ` (1, 2) ` なので、

求める二次関数を ` y = a(x-1)^2 +2 ` とおく。  (← ` y = a(x-p)^2 +q ` に頂点の座標を代入した。)

二次関数の式ができたら、まだ使っていない条件を使って式を立てる。

この場合は、まだ使っていないのは「点 ` (3, -2) ` を通る」だね。

点 ` (3, -2) ` を通るので、関数と座標の関係より、

` x=3, y=-2 ` を代入して等号が成立する。

 

` -2 = a(3-1)^2 +2 `  (←上の二次関数に ` x=3, y=-2 ` を代入した。)

` -2 = a xx 4 +2 `

` a = -1 `

 

従って、求める二次関数の式は

` y = -(x-1)^2 +2 `  (←上の式に ` a=-1 ` を代入した。)

  ` =-(x^2 -2x +1) +2 `  (←二乗を展開した。)

  ` =-x^2 +2x +1 `  (←定数をまとめた。)

頂点の座標が分かっている二次関数を表したいときは ` y = a(x-p)^2 +q ` とおく。

(2) ` x ` 軸と2点 ` (3, 0) ` 、 ` (-1, 0) ` で交わり、 ` y ` 切片が ` -3 ` 。 質問する

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(2)の通る点

` x ` 軸との交点の座標が2つともわかっている場合は、 ` y = a(x- alpha)(x - beta) ` の式を使うと便利。

なぜこの形を使うのがよいのかわからない人は、試しに ` x ` に ` alpha, beta ` を代入してみると、確かに ` y=0 ` になることを確認できるよ。

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` x ` 軸と2点 ` (3, 0) ` 、 ` (-1, 0) ` で交わるので、

求める二次関数を ` y = a(x-3)(x+1) ` とおく。  (← ` y = a(x- alpha)(x - beta) ` に ` alpha = 3, beta = -1 ` を代入した。)

(1)と同じく、まだ使っていない条件を使って式を立てる。

「 ` y ` 切片が ` -3 ` 」というのは、「点 ` (0, -3) ` を通る」のと同じだね。

` y ` 切片が ` -3 ` なので、関数と座標の関係より、

` x=0, y=-3 ` を代入して等号が成立する。

 

` -3 = a(0-3)(0+1)  (←上の式に ` x=0, y=-3 ` を代入した。)

` -3 = -3a `

` a=1 `

 

従って、求める二次関数の式は

` y = (x-3)(x+1) `  (←上の式に ` a=1 ` を代入した。)

  ` = x^2 -2x -3 `  (←展開した。)

` x ` 軸との交点の座標が2つともわかっている二次関数を表したいときは ` y = a(x- alpha)(x - beta) ` の式を使う。

(3) 3点 ` (-5, -10) ` 、 ` (-3, 4) ` 、 ` (1, 8) ` を通る。 質問する

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(3)の通る点

(1)や(2)とは違い、頂点や ` x ` 軸との交点などの特徴がわからない場合は、求める関数をとりあえず ` y = ax^2 +bx +c ` と置いてみよう。

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求める二次関数を ` y = ax^2 +bx +c ` と置く。

関数と座標の関係から、通る点の座標をそれぞれ代入すると

`{(-10 = a xx (-5)^2 +b xx (-5) +c  --(i)),( 4 = a xx (-3)^2 +b xx (-3) +c  --(ii)),(8= a xx 1^2 +b xx 1 +c  --(iii)):}

 

整理すると

`{( -10 = 25a -5b +c  --(i)'),( 4 = 9a -3b +c  --(ii)'),( 8 = a +b +c  --(iii)'):}`

 

(i)' - (ii)' より (← ` c ` を消去するため。)

` -14 = 16a -2b `

 よって ` -7 = 8a -b ` ・・・(iv)  (←両辺を2で割った。)

 

(ii)' - (iii)' より (← ` c ` を消去するため。)

` -4 = 8a -4b `

 よって ` -1 = 2a -b ` ・・・(v)  (←両辺を4で割った。)

 

(iv) - (v) より

` -6 = 6a `

 よって ` a= -1 `

 

これを (v) に代入すると

` -1 = 2 xx (-1) -b `

 よって ` b = -1 `

 

(iii)'に代入すると

` 8 = -1 -1 +c `

 よって ` c=10 `

 

以上より、求める二次関数は ` y = -x^2 -x +10 `

頂点や ` x ` 軸との交点が分からない二次関数を表したいときは ` y = ax^2 +bx +c ` と置く。

(4) 放物線 ` y = 2x^2 -8x +12 ` を平行移動したもので、2点 ` (-5, 0) ` 、 ` (-1, 0) ` を通る。 質問する

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二次関数の特徴より、求める二次関数の ` x^2 ` の係数は元の二次関数と同じだね。

後半で与えられた2点の座標をよく見てみよう。

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(4)の通る点

点 ` (-5, 0) ` と ` (-1, 0) ` は両方とも ` x ` 軸上の点だね。

(2)で使った形を使ってみよう。

二次関数を平行移動しても ` x^2 ` の係数は変わらない。

2点 ` (-5, 0) ` 、 ` (-1, 0) ` を通ることから、求める二次関数は ` y = 2(x+5)(x+1) ` と表せる。

 

これを整理すると

` y = 2x^2 +12x +10 `

この問題のように、「通る点」の条件をよく見ると、簡単に解けることもあるので、与えられた座標をよく見て、最も簡単に求める方法を考えよう。

二次関数を平行移動したいときは ` x^2 ` の係数はそのまま代入する。

(5) ` x = 2 ` のとき最大値 ` 6 ` をとり、 ` x = 0 ` のとき ` y = -2 ` をとる。 質問する

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(5)の条件

二次関数が最大値を取るということは、言い換えると?

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二次関数が最大値を取るのは、まず ` x^2 ` の係数がマイナス(上に凸)のときだよね。

それから、最大値を取るのは頂点だから、与えられた条件から頂点の座標がわかるね。

` x = 2 ` のとき最大値 ` 6 ` をとるので、頂点は ` (2, 6) ` 。

よって求める二次関数を ` y = a(x-2)^2 +6 ` とおく。

 

また、 ` x = 0 ` のとき ` y = -2 ` をとるので

` -2 = a xx (-2)^2 +6 `

` -2 = 4a +6 `

よって ` a=-2 `

 

従って求める二次関数は

` y = -2(x-2)^2 +6 `

  ` = -2(x^2 -4x +4) +6 `   (←二乗を展開した。)

  ` = -2x^2 +8x -2 `   (←( ) を外して整理した。)

小まとめ 質問する

二次関数の式を求める問題では、まず与えられた条件から二次関数の特徴を読み取り、それに合った二次関数を置く。

 

 頂点や軸が分かっている →  ` y = a(x-p)^2 +q `

  ` x ` 軸との交点が分かっている →  ` y = a(x- alpha)(x - beta) `

 それ以外の場合 →  ` y = ax^2 +bx +c `

 

次に、残った条件を使って分からない文字を求める。

 

一通り解けたら、【まとめ】2-3 二次関数の決定を確認しよう。

脚注
二次関数の標準形
`y = a(x-p)^2 +q` という形のこと。
なぜこの形から頂点がわかるのかは、辞書ページで確認しよう。
関数と座標の関係
関数 `y = f(x) ` のグラフが点 ` (a, b) ` を通るとき、式 ` b = f(a) ` が成り立つ。
二次関数の特徴
二次関数のグラフの「開き具合」は、 `x^2` の係数によって決まるから、平行移動したときはグラフの「開き具合」は同じなので、 `x^2` の係数も変わらないよ。
上に凸
「上に凸」とは、文字通り「上側に出っぱった状態」のこと。
二次関数の場合は、「 `x^2` の係数が負」であることと同じになるよ。
分からない文字
分からない文字(未知の定数)の数だけ式を立てれば、全ての定数を求めることができるよ。
【まとめ】2-3 二次関数の決定
このカテゴリの見分け方と解き方をまとめてあるよ。

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