Pagetop

高校数学の解き方がわかります|わかりMATH

サイトマップ
わかりMATH

ようこそ ゲスト さん

無料会員登録・ログイン

わかりMATHトップ > 二次関数 > 【必修】2-2 二次関数のグラフの平行移動、対称移動
【】

【必修】2-2 二次関数のグラフの平行移動、対称移動 質問する

放物線 ` y = 2x^2 -8x +12 ` を次のように移動して得られる

放物線の方程式を求めよ。

(1) ` y ` 軸方向に ` -3 ` 平行移動 質問する

ヒント1を見る
ヒントを隠す

放物線を平行移動しても、`x^2` の係数は変わらないことをうまく利用しよう。

まず元の放物線の頂点の座標を求めて、

頂点がどこに動いたか?」に着目し、移動後の放物線の方程式を求めよう。

定石解を見る
答えを隠す

まず、頂点の座標を求めるために、平方完成するよ。

` y = 2x^2 -8x +12 `

  ` = 2(x^2 -4x) +12 `  (← ` 2 ` でくくった。)

  ` = 2{(x -2)^2 -4) +12 `  (← 二乗の形を作った。)

  ` = 2(x-2)^2 +4 `  (←定数をまとめた。)

 

よって、頂点の座標は ` (2, 4) ` である。

 

y軸方向に-3平行移動

この放物線を ` y ` 軸方向に ` -3 ` 平行移動すると、頂点は ` (2, 1) ` に移動する。

 

放物線を平行移動しても、 `x^2` の係数は変わらない

頂点の座標から二次関数の式を求めるときは、 ` y=a(x-p)^2+q` の形(二次関数の標準形)が使えるよ。

従って、求める放物線の方程式は

` y= 2(x-2)^2 +1 `  (← ` y = a(x-p)^2 +q ` に代入した。)

  ` = 2(x^2 -4x +4) +1 `  (←二乗を展開した。)

  ` = 2x^2 -8x +9 `  (←( )を外し、定数をまとめた。)

二次関数のグラフを平行移動したいときは

移動後のグラフの頂点の座標を求め、 ` y = a(x-p)^2 +q ` に代入する。

このやり方は実はあまり効率がよくない上に、二次関数でしか使えないので、ぜひ「別解」の方もマスターしてください。

最速解を見る
答えを隠す

別解として、平行移動の公式に当てはめる方法があるよ。

こちらの方が速く解けるので、必ず理解しておこう。

` y ` 軸方向に ` -3 ` 平行移動するので、 ` y ` に ` y+3 ` を代入すると、

` y+3 = 2x^2 -8x +12 `  (←元の関数の ` y ` に ` y+3 ` を代入した。)

よって求める放物線の方程式は

` y = 2x^2 -8x +9 `  (←定数をまとめた。)

グラフを ` y ` 軸方向に ` b ` 平行移動したいときは ` y ` に ` y - b ` を代入する。

元の答えと別解の結果が同じになっていることを確認しよう。

元の答えでは平方完成して、もう一度展開しているけど

別解ではその手間がない分、速く解けるよね。

(2) ` x ` 軸方向に ` 2 ` 平行移動 質問する

ヒント1を見る
ヒントを隠す

(1)と同じく、頂点の座標に着目する方法と、平行移動の公式に当てはめる方法があるよ。

定石解を見る
答えを隠す

頂点は、(1)と同じ方法で求められるね。

(1)より、頂点の座標は ` (2, 4) ` である。

x軸方向に2平行移動

この放物線を ` x ` 軸方向に ` 2 ` 平行移動すると、頂点は ` (4, 4) ` に移動する。

 

従って、求める放物線の方程式は

` y= 2(x-4)^2 +4 `  (← ` y = a(x-p)^2 +q ` に代入した。)

  ` = 2(x^2 -8x +16) +4 `  (←二乗を展開した。)

  ` = 2x^2 -16x +36 `  (←( )を外し、定数をまとめた。)

最速解を見る
答えを隠す

関数の平行移動の公式に当てはめて解いてみよう。

` x ` 軸方向に ` 2 ` 平行移動するので、 ` x ` に ` x-2 ` を代入すると、

` y = 2(x-2)^2 -8(x-2) +12 `  (←全ての ` x ` に ` x-2 ` を代入した。)

よって求める放物線の方程式は

` y = 2(x^2 -4x +4) -8(x-2) +12 `  (←二乗を展開した。)

` y = 2x^2 -16x +36 `  (←( )を外し、同類項をまとめた。)

グラフを ` x ` 軸方向に ` a ` 平行移動したいときは ` x ` に ` x - a ` を代入する。

(3) ` x ` 軸方向に ` 3 ` 、 ` y ` 軸方向に ` -1 ` 平行移動 質問する

ヒント1を見る
ヒントを隠す

` x ` 軸方向と ` y ` 軸方向の両方に動く場合も、今までと同じように頂点の移動を考える解き方と、平行移動の公式に当てはめるやり方の両方で解けるよ。

定石解を見る
答えを隠す

頂点は、(1)、(2)と同じ方法で求められるね。

(1)より、頂点の座標は ` (2, 4) ` である。

x軸方向に3、y軸方向に-1平行移動

この放物線を ` x ` 軸方向に ` 3 ` 、 ` y ` 軸方向に ` -1 ` 平行移動すると、頂点は ` (5, 3) ` に移動する。

 

従って、求める放物線の方程式は

` y= 2(x-5)^2 +3 `  (← ` y = a(x-p)^2 +q ` に代入した。)

  ` = 2(x^2 -10x +25) +3 `  (←二乗を展開した。)

  ` = 2x^2 -20x +53 `  (←( )を外し、定数をまとめた。)

最速解を見る
答えを隠す

関数の平行移動の公式に当てはめて解いてみよう。

` x ` と ` y ` の両方に動くから、(1)と(2)の公式を両方同時に利用するよ。

` x ` 軸方向に ` 3 ` 、 ` y ` 軸方向に ` -1 ` 平行移動するので、

` x ` に ` x-3 ` 、 ` y ` に ` y+1 ` を代入すると、

` y+1 = 2(x-3)^2 -8(x-3) +12 `  (←全ての ` x ` に ` x-3 ` を、 ` y ` に ` y+1 ` を代入した。)

よって求める放物線の方程式は

` y+1 = 2(x^2 -6x +9) -8(x-3) +12 `  (←二乗を展開した。)

` y = 2x^2 -20x +53 `  (←( )を外し、同類項をまとめた。)

グラフを ` x ` 軸方向に ` a ` 、 ` y ` 軸方向に ` b ` 平行移動したいときは

` x ` に ` x - a ` を、 ` y ` に ` y - b ` を代入する。

(4) ` x ` 軸について対称移動 質問する

ヒント1を見る
ヒントを隠す

対称移動についても、平行移動と同じく、まずは頂点の移動を考えてみよう。

` x ` 軸について対称移動した場合は、 ` x^2 ` の係数の正負が逆転するので注意!

定石解を見る
答えを隠す

(1)と同様に、移動前のグラフの頂点は ` (2, 4) ` なので、

` x ` 軸について対称移動すると、頂点の座標は ` (2, -4) ` に移動する。

x軸について対称移動

また、 ` x^2 ` の係数の正負が逆転するので、求める二次関数の式は

` y= -2(x-2)^2 -4 `  (← ` y = a(x-p)^2 +q ` に代入した。 ` x^2 ` の係数に注意。)

  ` = -2(x^2 -4x +4) -4 `  (←二乗を展開した。)

  ` = -2x^2 +8x -12 `  (←( )を外し、定数をまとめた。)

グラフを ` x ` 軸について対称移動したいときは、

平行移動と同じく、まず移動後の頂点の座標を求める。

` x ` 軸について対称移動する場合は、 ` x^2 ` の係数の正負が逆転する。

実は、対称移動の公式もあるんだ。

頂点の移動に着目する方法よりも公式の方がはるかに速いので、絶対に覚えておいてね。

最速解を見る
答えを隠す

関数の対称移動の公式に当てはめて解いてみよう。

` x ` 軸について対称移動するので、 ` y ` に ` -y ` を代入すると

` -y = 2x^2 -8x +12 `  (← ` y ` に ` -y ` を代入した。)

従って、求める二次関数の式は

` y = -2x^2 +8x -12 `  (←両辺に ` -1 ` をかけるだけで答えが出た!)

` x ` 軸について対称移動したいときは、 ` y ` に ` -y ` を代入する。

(5) ` y ` 軸について対称移動 質問する

ヒント1を見る
ヒントを隠す

` y ` 軸に関する対称移動も、頂点の移動に着目する方法と、対称移動の公式を使う方法があるよ。

定石解を見る
答えを隠す

(1)と同様に、移動前のグラフの頂点は ` (2, 4) ` なので、

` y ` 軸について対称移動すると、頂点の座標は ` (-2, 4) ` に移動する。

y軸について対称移動

従って、求める二次関数の式は

` y= 2(x+2)^2 +4 `  (← ` y = a(x-p)^2 +q ` に代入。今回は ` x^2 ` の係数は変わらない。)

  ` = 2(x^2 +4x +4) +4 `  (←二乗を展開した。)

  ` = 2x^2 +8x +12 `  (←( )を外し、定数をまとめた。)

最速解を見る
答えを隠す

関数の対称移動の公式に当てはめて解いてみよう。

` y ` 軸について対称移動するので、 ` x ` に ` -x ` を代入すると

` y = 2(-x)^2 -8(-x) +12 `  (←全ての ` x ` に ` -x ` を代入した。)

従って、求める二次関数の式は

` y = 2x^2 +8x +12 `  (←簡単な計算だけで答えが出た!)

` y ` 軸について対称移動したいときは、 ` x ` に ` -x ` を代入する。

(6) 原点について対称移動 質問する

ヒント1を見る
ヒントを隠す

これまでと同じく、頂点の移動でも、対称移動の公式に当てはめても解けるよ。

定石解を見る
答えを隠す

(1)と同様に、移動前のグラフの頂点は ` (2, 4) ` なので、

原点について対称移動すると、頂点の座標は ` (-2, -4) ` に移動する。

原点について対称移動

従って、求める二次関数の式は

` y= -2(x+2)^2 -4 `  (← ` y = a(x-p)^2 +q ` に代入した。 ` x^2 ` の係数に注意。)

  ` = -2(x^2 +4x +4) -4 `  (←二乗を展開した。)

  ` = -2x^2 -8x -12 `  (←( )を外し、定数をまとめた。)

最速解を見る
答えを隠す

関数の対称移動の公式に当てはめて解いてみよう。

原点について対称移動するということは、 ` x ` 軸と ` y ` 軸の両方について対称移動するということだね。

原点について対称移動するので、 ` x ` に ` -x ` を、 ` y ` に ` -y ` を代入すると

` -y = 2(-x)^2 -8(-x) +12 `  (←全ての ` x ` に ` -x ` を、 ` y ` に ` -y ` を代入した。)

` -y = 2x^2 +8x +12 `  (←まず右辺を整理した。)

従って、求める二次関数の式は

` y = -2x^2 -8x -12 `  (←両辺に ` -1 ` をかけた。)

原点について対称移動したいときは、 ` x ` に ` -x ` を、 ` y ` に ` -y ` を代入する。

小まとめ 質問する

二次関数の平行移動・対称移動に関する問題は、

二次関数の頂点の移動に着目して ` y = a(x-p)^2 +q ` に代入して解く方法と、平行移動の公式対称移動の公式に代入する方法があるよ。

 

公式を使った方が速いし、計算ミスも少なくなるので、ぜひ公式をマスターしよう。

 

一通り解けたら、【まとめ】2-2 二次関数のグラフの平行移動、対称移動を確認しよう。

脚注
`x^2` の係数は変わらない
二次関数のグラフの「開き具合」は、 `x^2` の係数によって決まるから、平行移動したときはグラフの「開き具合」は同じなので、 `x^2` の係数も変わらないよ。
平方完成
`y = a(x-p)^2 +q` という形に変形すること。
この形にすると頂点が `(p, q)` と簡単に見分けることができるよ。
二次関数の標準形
`y = a(x-p)^2 +q` という形のこと。
なぜこの形から頂点がわかるのかは、辞書ページで確認しよう。
平行移動の公式
グラフを `x` 軸方向に `a` 平行移動したいときは `x` に `x - a` を代入する。
グラフを`y` 軸方向に `b` 平行移動したいときは `y` に `y - b` を代入する。
対称移動の公式
グラフを `x` 軸について対称移動したいときは、 `y` に `-y` を代入する。
グラフを `y` 軸について対称移動したいときは、 `x` に `-x` を代入する。
【まとめ】2-2 二次関数のグラフの平行移動、対称移動
このカテゴリの見分け方と解き方をまとめてあるよ。
ページトップへ