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わかりMATHトップ > 二次関数 > 【必修】2-1 二次関数のグラフの書き方・読み方
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【必修】2-1 二次関数のグラフの書き方・読み方 質問する

次の関数のグラフを書き、その軸と頂点を求めよ。

(1) ` y = 1/2x^2 ` 質問する

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y=1/2 x^2の代表点プロット

形を忘れていたら、 ` x=1,2,3,…,0,-1,-2,… ` での

` y ` の値を座標にとり、線で結んでみよう。

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グラフを描くときには、下の表のポイントに気をつけよう。

左右対称になる中心線のことを軸、グラフ上のその点を頂点と呼ぶよ。

表:二次関数のグラフの良い例とダメな例

良い例 左右対称になっていない グラフの傾きが増えていない 内側に回り込んでいる
× × ×
ダメな理由 - 左右対称になっていない グラフの傾きが増えていない 内側に回り込んでいる

 

y = 1/2 x^2の図

図より、軸は ` x=0 ` 、頂点は ` (0, 0) ` となる。

グラフを描くときはグラフの形が「ダメな例」になっていないか注意する。

(2) ` y = 1/2x^2 - 2x + 1 ` 質問する

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この式の形ではグラフが描けないので、平方完成してみよう。

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解法を知らない状態で「平方完成しよう」とはなかなか考え付かないので

二次関数のグラフを書きたい場合は平方完成して頂点の座標を調べる

ということを是非とも覚えてね。

y = 1/2 (x-2)^2 - 1 の図

` y = 1/2x^2 - 2x + 1 `

` = 1/2(x^2 -4x) + 1 `  (← ` 1/2 ` でくくった)

` = 1/2{(x-2)^2 - 4} + 1 `  (← ` (x-2)^2 ` を作った)

` = 1/2(x-2)^2 - 1 `

` y=a(x-p)^2+q ` の形になったら、軸は ` x=p ` 、頂点は ` (p, q) ` なので(二次関数の標準形)

軸は ` x=2 ` 、頂点は ` (2, -1) ` となる。

二次関数のグラフを書きたい場合は平方完成して頂点の座標を調べる。

(3) ` y = -2x^2 + 4x -3 ` 質問する

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` x^2 ` の係数がマイナスだとどうなるかな?

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(2)と同様に平方完成してみよう。

` y = -2x^2 + 4x -3 `

` =-2(x^2-2x)-3 `  (← ` 2 ` でくくった)

` =-2{(x-1)^2-1}-3 `  (← ` (x-1)^2 ` を作った)

` =-2(x-1)^2-1 `

これは ` y = -2x^2` のグラフを `(+1,-1) ` ずらしたものになるよ。

y=-2(x-1)^2-1のグラフ

` x=0,1,2,3,… ` と代入すれば分かるとおり、(1),(2)とは上下が逆転したグラフになるよ。

軸は ` x=1 ` 、頂点は ` (1, -1) ` となる。

` x^2 ` の係数がマイナスのときはグラフの形が上下逆転するので注意しよう。

` x^2 ` の係数がプラスのときを「下に凸」、マイナスのときを「上に凸」と呼ぶよ。

(4) ` y = (x - 2)(2x + 1) ` 質問する

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軸と頂点を求めたいなら、式を展開して平方完成すれば解けるよ。

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平方完成する前に、この式の形に注目しよう。

因数分解されていて、 ` x=2,-1/2 ` なら ` y=0 ` になることが分かるよね。

これだけで ` A (2,0) ` と ` B (-1/2,0) ` を通ることが分かったから、座標に点を打っておこう。

` y = (x - 2)(2x + 1) `

` = 2x^2 - 3x -2 `

x切片とy切片の図

ここでも平方完成する前に式を見てみよう。

` x=0 ` のときは ` y=-2 ` になることが実はすぐに分かるよね。

ここでも ` C (0,-2) ` を通ることが分かったから、座標に点を打っておこう。

` x=0 ` のときの ` y ` の値、つまり ` y ` 軸との交点を「 ` y ` 切片

` y=0 ` のときの ` x ` の値、つまり ` x ` 軸との交点を「 ` x ` 切片」と呼ぶよ。

` x ` 切片、 ` y ` 切片は式の形によってはすぐに分かるので、先に点を打っておこう。

(2),(3)についても ` y ` 切片の値はすぐに分かるので確認してみよう。

y = 2(x -3/4)^2 -25/8の図

` y = 2x^2 - 3x -2 `

` y = 2(x^2 -(3x)/2) -2 `  (← 2でくくった。)

` y = 2{(x -3/4)^2 -9/16} -2 `  (← ` (x-3/4)^2 ` を作った)

` y = 2(x -3/4)^2 -25/8 `

軸は ` x=3/4 ` 、頂点は ` (3/4, -25/8) ` となる。

` x ` 切片は ` y=a(x-alpha)(x-beta) ` の形のときの ` alpha ` , ` beta ` 、

` y ` 切片は ` y=ax^2+bx+c ` の形のときの ` c ` なので、一目で分かったら先に点を打っておこう。

小まとめ 質問する

二次関数のグラフを書きたい場合は

1.因数分解した形( ` y-a(x-alpha)(x-beta) ` )の ` alpha ` , ` beta ` 、

  もしくは一般形( ` y=ax^2 +bx +c` )の ` c ` から

   ` x ` 切片もしくは ` y ` 切片を調べる。

2.平方完成して頂点の座標を調べる

3. ` x^2 ` の係数の正負から「下に凸」か「上に凸」かを調べる。

 

グラフを描くときはグラフの形が「ダメな例」にならないように注意。

 

一通り解けたら、【まとめ】2-1グラフの描き方・読み方を確認しよう。

表:二次関数のグラフの良い例とダメな例

良い例 左右対称になっていない グラフの傾きが増えていない 内側に回り込んでいる
× × ×
ダメな理由 - 左右対称になっていない グラフの傾きが増えていない 内側に回り込んでいる
脚注
平方完成
`y = a(x-p)^2 +q` という形に変形すること。
この形にすると頂点が `(p, q)` と簡単に見分けることができる。
頂点の座標
二次関数を平方完成して`y =a(x-p)^2 +q` の形(標準形)に変形すると、頂点の座標が`(p, q)`だとすぐに見分けられるよ。
下に凸
「下に凸」とは、「上に凸」の反対で、「下側に出っぱった状態。」のこと。
二次関数の場合は、「 `x^2` の係数が正」であることと同じ。
`x` が大きくなるにつれて傾きが段々増加することを言います。
上に凸
「上に凸」とは、文字通り「上側に出っぱった状態」のこと。
二次関数の場合は、「 `x^2` の係数が負」であることと同じ。
`x` が大きくなるにつれて傾きが段々減少することを言います。
【まとめ】2-1グラフの描き方・読み方
このカテゴリの見分け方と解き方をまとめてあるよ。
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