Pagetop

高校数学の解き方がわかります|わかりMATH

サイトマップ
わかりMATH

ようこそ ゲスト さん

無料会員登録・ログイン

わかりMATHトップ > 辞書ページ > 【辞書】パスカルの三角形
【順列・組み合わせ】

【辞書】パスカルの三角形 わからないところを質問する

(パスカルの三角形)

パスカルの三角形は、 ` (a+b)^n ` を展開したときの係数を書きだした表で、

右のようなものになります。

上の段の数字を足していくだけなので、簡単に作成することができます。

一番外側の数字は必ず1です。

 

二項定理では、係数を1項ずつ計算する必要がありましたが、

パスカルの三角形を使うと、足し算していくだけで係数が全てわかります

 

 

例)表の5段目から、 ` (a+b)^5 ` の展開式は

 

` (a+b)^5 = a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 `

 

となることがわかります。

パスカルの三角形の仕組み わからないところを質問する

なぜ上の段の数字を足すだけで、次々と係数が求められるのでしょうか?

例として、2段目( ` (a+b)^2 ` )から3段目( ` (a+b)^3 ` )を求めることを考えてみましょう。

 

` (a+b)^2 = a^2+ 2ab+b^2 ` です。

これを用いて ` (a+b)^3 ` を変形すると、

 

` (a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 `

 

      ` = (a+b)(a^2+2ab+b^2) `  (←3乗のうち2乗だけ展開した。)

 

      ` = axx(a^2+2ab+b^2)+bxx(a^2+2ab+b^2) ` (←分配法則より。)

 

(パスカル三角形の仕組み)

となります。

 

このうち、左半分が図の赤で示した矢印に、

右半分が青で示した矢印に該当します。

 

それぞれを展開した結果を足すと、最終的に

` (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 ` となります。

 

このように、` (a+b)^n ` を展開したものに、さらに ` (a+b) ` をかけると、

係数をずらして足す」という状態になるので、パスカルの三角形が成り立つのです。

` {::}_n C_r ` に関する面白い性質 わからないところを質問する

二項定理によると、` (a+b)^n `を展開したときの ` a^(n-r)b^r `の係数は ` {::}_n C_r `でした。

 

これをパスカルの三角形に当てはめてみましょう。

さっきのパスカル三角形と比べてみてください。

(二項係数表示したパスカル三角形)

 

n段目と(n+1)段目に注目すると、次の図のようになります。

(二項係数表示したパスカル三角形のn、n+1段目)

 

以上から、` {::}_n C_r `に関して次の式が成り立つことがわかります。

 

` {::}_(n+1) C_(r+1) = {::}_n C_r + {::}_n C_(r+1) `

 

不思議ですねぇ。

もちろん、こんな式を覚える必要はありませんが、まれに数列の問題などで役に立つことがあります。

脚注
二項定理
` (a+b)^n ` の展開式を求める定理。

関連ページ

多項式の積を展開したときの項の個数や係数に関する問題。
ページトップへ