Pagetop

高校数学の解き方がわかります|わかりMATH

サイトマップ
わかりMATH

ようこそ ゲスト さん

無料会員登録・ログイン

わかりMATHトップ > 辞書ページ > 【辞書】二項定理
【順列・組み合わせ】

【辞書】二項定理 わからないところを質問する

二項定理とは ` (○ + △)^n ` の展開形を式で表したものです。

先に定理の式をご紹介しましょう。

` (x + y)^n = sum_(k=0)^(n) {::}_nC_k x^ky^(n-k) `

文字や記号だらけで何のことだか分かりませんね。

 

みなさんがイメージしづらいのは ` sum ` という記号のためでしょう。

sigmaの図

この ` sum_(k=0)^(n) ○○ ` とは

○○のkに0~nまでの整数を入れたものを全て足す」という意味です。

 

では0から順に入れて、書き並べてみましょう。

 

` sum_(k=0)^(n) {::}_nC_k x^ky^(n-k) `

 

` = {::}_nC_0 x^0y^n + {::}_nC_1 x^1y^(n-1) + {::}_nC_2 x^2y^(n-2) + {::}_nC_3 x^3y^(n-3) + {::}_nC_4 x^4y^(n-4) + ...+{::}_nC_n x^ny^0 `

 

ということになります。

 

` sum ` がそうなるのは分かりましたが、

これが何を表してるのかはまだ分かりにくいですね。

 

 

改めて言いますが、

二項定理とは ` (○ + △)^n ` の展開形を式で表したものです。

 

` (○ + △)^n ` の展開形というのは、例えば

 

` (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 `

` (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 `

` (x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 `

 

といった具合です。

 

これが、4乗よりもっと大きな文字になっても、( )の中身が変わっても、

先ほどの式で書き表せてしまう、ということです。

 

` (x + 1)^9 ` なんて( )を一つずつ展開するのは面倒です。

「 ` (x + 1)^9 ` の ` x^5 ` の係数を求めよ」という問題なら、

二項定理を使うと、全部の項を書き並べることなくその項だけすぐに求められます。

 

二項定理の図

つまり、

` (x + y)^n ` の展開形において ` x^ky^(n-k) ` の項の係数は ` {::}_nC_k ` になる

ということです。

なぜそうなるの? わからないところを質問する

式の展開を「場合の数」として考えてみましょう。

【必修】4-10 多項式の項の個数と係数の(3)に

全く同様の考え方を使う問題があるので、一度確認してみてください。

 

式の展開はそれぞれのカッコから項を一つずつ選んで

かけ合わせた結果を全部書き並べる、ということをしています。

 

例えば ` (x + y)^3 = x x x + x x y + x y x + y x x + x y y + y x y + y y x + y y y` となります。

 

ここで `x^2y` になるのは `x x y` と `x y x` と `y x x` の3項あるから

`x^2y` の係数は `3` になる、という具合です。

 

` (x + y)^n ` の場合の ` x^ky^(n-k) ` の係数は、

` (x + y)^n ` を掛け合わせた結果を全部バラバラに並べたときの

` x^ky^(n-k) ` という項の数に等しいはずです。

 

それはつまり、 `n` 個のカッコの中から `x` を `k` 個、 `y` を `n-k` 個選ぶ選び方のことなので、 ` {::}_nC_k ` になります。

 

 

ちなみに ` (x + y)^n ` で並ぶ項の係数はパスカルの三角形の底辺に並ぶ数と同じになります。

全部の項を書き出すような問題の場合はこれを利用した方が早いこともあります。

使い方・覚え方 わからないところを質問する

もう一度定理の式を見てみましょう。

` (x + y)^n = sum_(k=0)^(n) {::}_nC_k x^ky^(n-k) `

 

` (3x - 2y)^8 ` を展開したり係数を求める問題だった場合は

` X = 3x, Y = -2y ` と置いてしまえば

` (X + Y)^8 ` と定理に沿った形になりますね。

 

文字で置いた場合は `X^3Y^5 = (3x)^3(-2y)^5 = 3^3(-2)^5x^3y^5 = -864x^3y^5` と

再変換することもお忘れなく。

最終的な係数は、ここで出た `-864` という係数と `{::}_8C_3` をかけたものになります。

 

このように二項定理は二項を何乗かする形ならば必ず使えます。

 

ただ、重要なことは式の形を覚えるのではなく、考え方を覚えることです。

` n ` 個のカッコの中から `x` を `k` 個、 `y` を `n-k` 個選ぶから ` {::}_nC_k ` になる

これが分かっていれば、ややこしい式の形を覚える必要はありません。

 

また ` (x + y + z)^n ` などの形になっていても考え方さえ分かっていれば応用で解くことが出来ます。

例えば、 ` x^py^qz^r` (ただし、 `p + q + r = n` ) の係数は ` (n!)/(p! q! r!) ` ですね。

 

これは、n個のカッコの中から `x` を `p` 個、 `y` を `q` 個、 `z`を `r` 個選ぶからですね。

 

これはパスカルの三角形の(4)と同じ考え方なので、分からない人は確認してみましょう。

脚注
【必修】4-10 多項式の項の個数と係数
(1) ` (a+b+c+d)(x+y+z) ` を展開したときの項の個数
(2) ` (a+b)(c+d)(x+y) ` を展開したときの項の個数
(3) ` (x^2+3)^7 ` を展開したときの ` x^6 ` の係数
(4) ` (x/2-1/x^2)^9 ` の定数項の係数
パスカルの三角形
上の段の隣り合う二つの数字を足していくと出来る
三角形型の数字の羅列
【必修】4-8 異なる要素の選び方とグループ分け
男子8人、女子6人がいるとき
(1) 男子2人、女子2人の計4人を選ぶ方法
(2) 男子、女子から少なくとも1人ずつの計4人を選ぶ方法
(3) 特定の人Aがいて、Bがいないような4人を選ぶ方法
(4) 6人、5人、3人の3組に分ける方法
(5) 7人、7人の2組に分ける方法
(6) 6人、4人、4人の3組に分ける方法

関連ページ

多項式の積を展開したときの項の個数や係数に関する問題。
ページトップへ