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【順列・組み合わせ】

【辞書】樹形図 わからないところを質問する

樹形図とは物事を順番に書き出して数える、数え上げのテクニックです。

 

(1,2,3)の並べ替えの樹形図

文字で説明するよりも見た方が早いので、

実際に樹形図を使って「1、2、3の並べ替え」を書き出してみましょう(右図)。

 

まず一番左に百の位に入る数字を書きます(1、2、3)。

 

次に、百の位のそれぞれから、十の位に入る数字を伸ばします。

例えば、百の位が1なら、十の位は2、3の2本の枝が伸びます。

 

最後に、それぞれの十の位から、一の位に入る数字を伸ばします。

この場合は、百の位、十の位が決まれば一の位は1通りに定まります。

 

全て書き出すと、図のように6通りとなります。

 

 

(1,2,3)を使ってできる3桁の整数の樹形図

今度は、(1,2,3)の数字を使ってできる3桁の整数で、

同じ数字があってもよい場合を書き出してみましょう。

 

先ほどと同じく、百の位から順に枝を伸ばしていきます。

 

枝が増えると地道な作業となりますが、漏れなく全部数えることができます(27通り)。

 

枝が生い茂った樹の形に見えることから「樹形図」と呼ばれています。

樹形図を使ったほうがよい問題 わからないところを質問する

順列・組合せの問題で数え上げを使う場合に樹形図は役立ちます。

 

上記のような問題は樹形図でわざわざ書かなくても

数字を一度ずつ使う場合は `3 xx 2 xx 1=6` 、

数字を何度でも使える場合は `3^3=27` と計算できてしまうのですが、

それは分岐する枝の数がどれも一緒だからです。

 

分岐した先がそれぞれの選択肢によって変わるような問題でこそ樹形図を使うべきです。

 

数え上げのページで紹介した問題をそのまま樹形図で解いてみましょう。

 

例)12個の同じ玉をA,B,Cの3人に分けるとき、もらえる玉の数が `A lt B lt C` となるのは何通りあるか。

12個の玉をA<B<Cに分ける樹形図

よって、 `4+2+1=7` 通り

樹形図は、数え上げを、目で見て分かりやすいようにやっているだけです。

樹形図を使うべきでない問題 わからないところを質問する

「(1,2,3)の並べ替え」のような問題も樹形図はベストな解法ではないんですが

数え上げの項目を参照してください)

問題なく解けます。

ですがこれがもし「10人の並べ替え」となったら、同じ作業をするだけですが

単純に書き出す量が物凄く多いので、時間がかかってしまいます。

要素が4つ以上になるような問題を樹形図で解くことは滅多にありません。

5つ以上はまずあり得ないと思っていいでしょう。

脚注
数え上げ
場合の数を一つ一つ書き出して数えること。

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