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わかりMATHトップ > 場合の数 > 【まとめ】4-10 多項式の項の個数と二項定理
【順列・組み合わせ】

【まとめ】4-10 多項式の項の個数と二項定理 わからないところを質問する

多項式の項の個数を求める問題は、一見場合の数の問題には見えないんですが、

実は順列の考え方を使っている、というカテゴリです。

 

そこまで頻出ではありませんが、多くの高校生がつまずくところでもあると思います。

 

まずは、次のポイントをしっかり押さえましょう。

式の展開は順列の考え方に似ている。

展開後の項の個数は、カッコ内の要素の選び方

n乗の展開後の係数は、どのカッコから取ってくるかという選び方

カテゴリの見分け方 わからないところを質問する

式を展開した後の項の個数、係数を求める問題です。

 

(例) ` (x + y + z)(a + b + c + d)(p + q) ` の展開後の項の個数を求めよ。

 

二項定理」は ` (a + b)^n ` という式を展開した後の

それぞれの項の係数を求めているので、このカテゴリに属します。

 

 

また、発展的な内容ですが、「約数の個数や総和を求める問題」があります。

 

(例) ` 60 ` の約数の個数と、約数の総和を求めよ。

 

(答え) `60 = 2^2 xx 3xx5` と素因数分解できるので、

約数の個数は `3 xx 2 xx2=12` 個

約数の総和は `(1+2^1+2^2)(1+3^1)(1+5^1)=7xx4xx6=168` //

解答の方針 わからないところを質問する

多項式の項の個数の方針です。

・式の展開は、それぞれのカッコからどれとどれを掛け合わせるかを

 全パターン列挙することだと考えよう。

・項の個数は「カッコ内の要素の選び方」で求められる。

・係数は「カッコ自体の選び方×選んできた結果の係数」で求められる。

二項定理は「どのカッコから持ってくるか」を考えるから ` C ` を使う。

脚注
二項定理
`(x + y)^n = sum (k=1)^(n) {::}_nC_k x^ky^(n-k)`
つまり、 `x^ky^(n-k)` の項の係数は `{::}_nC_k` になるという定理。

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多項式の積を展開したときの項の個数や係数に関する問題。
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