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【二次関数】

【辞書】二次方程式の解の公式 わからないところを質問する

このページでは、二次方程式の解き方と解の公式について解説します。

因数分解を使った解き方 わからないところを質問する

与えられた二次方程式を `(x-alpha)(x-beta)=0` というような積の形に変形して、

0と何かをかけても0」という関係から、

`x-alpha=0` または `x-beta=0` 、つまり `x=alpha, beta` と解くやり方です。

 

直観的で理解しやすい解き方ですが、中には因数分解できない二次方程式や、

因数分解が難しい二次方程式もあるので、万能ではありません。

 

`x^2` の係数が `1` 以外のときは、たすき掛けで因数分解できることもあるので試してみましょう。

平方完成を使った解き方 わからないところを質問する

`A^2=d` のとき、 `A=+-sqrt d` という関係を使った解き方です。

 

例えば、 `x^2 +2x=0` という二次方程式の両辺に `1` を足すと、

`x^2+2x+1=1`  となり、

`(x+1)^2=1`  と変形できます。

よって `x+1=+-sqrt 1`  となるので、

`x = -1 +-1` 、つまり `x=0, -2`  と解くことができます。

 

平方完成については、二次関数の平方完成のページも参照してください。

 

次に、二次方程式 `ax^2+bx+c=0` (ただし `a != 0` )を平方完成で解いてみましょう。

 

`x^2 +(bx)/a+c/a=0`  ←両辺を `a` で割った。

`x^2 +(bx)/a=-c/a`  ← `c/a` を移項した。

`x^2 +2 xx b/(2a)x + (b/(2a))^2=-c/a + (b/(2a))^2`  ←両辺に` (b/(2a))^2` を足した。

`(x + b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(4a^2)`  ←左辺に2乗の形を作り、右辺の分母をそろえた。

`x+b/(2a) = (+-sqrt (b^2-4ac))/(2a)`  ←両辺をルートした。

`x=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)`  ← `b/(2a)` を移項した。

 

このように、平方完成をすれば、どんな二次方程式も解を求めることができます。

(ルートの中身が負の場合は、実数の解はなく、複素数解となります。)

いちいち平方完成するのは面倒なので、公式とした わからないところを質問する

全ての二次方程式は、上のように平方完成すれば解けるのですが、

いちいち上のような式変形をするのはとても面倒だし、計算ミスの元です。

 

なので、上の式の一番最後の行を公式とすることにしました。

二次方程式 ` ax^2 +bx+c=0` の解(解の公式)

`x=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)`

脚注
たすき掛け
因数分解を補助する手法。
ななめにかける作業から「たすきがけ」と呼ばれる。
二次関数の平方完成
二次関数を平方完成して頂点の座標を求める方法の解説です。

関連ページ

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