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【二次関数】

【辞書】二次方程式の判別式 わからないところを質問する

「判別式」とはそもそも何でしょうか?成り立ちと意味、使い方について詳しく解説します。

判別式とは? わからないところを質問する

判別式とは、二次方程式の解の数を簡単に判別できる式で、 `D` で表します。

 

二次方程式 `ax^2+bx+c=0` の判別式 `D` は `D=b^2-4ac` となり、以下の関係が言えます。

 ・  `D>0`  → その二次方程式は異なる2つの実数解を持つ

 ・  `D=0`  → その二次方程式は1つの実数解(重解)を持つ

 ・  `D<0`  → その二次方程式は実数の解を持たない(異なる2つの複素数の解を持つ)

判別式と二次方程式の解の公式 わからないところを質問する

二次方程式 `ax^2+bx+c=0` の解は、解の公式を用いると

`x=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)`  となります。

 

判別式 `D` は、二次方程式の解の公式のルートの中身と同じです。

 

これが偶然の一致ではないことは、以下の関係に着目するとわかります。

 ・  ルートの中身が正 → その二次方程式は異なる2つの実数解を持つ

 ・  ルートの中身が0 → その二次方程式は1つの実数解(重解)を持つ

 ・  ルートの中身が負 → その二次方程式は実数の解を持たない(異なる2つの複素数の解を持つ)

二次関数への応用 わからないところを質問する

判別式 `D` は、二次方程式の解の個数を判別するものですが、

二次関数のグラフの特徴を見分けるのにも使えます。

 

二次関数 `y=f(x)` に `y=0` を代入すると、 `f(x)=0` という二次方程式になります。

 

この二次方程式 `f(x)=0` の解は、二次関数のグラフと `x` 軸との交点となります。

 

なので、二次方程式 `f(x)=0` の判別式を `D` とおくと、以下の関係が言えます。

 ・  `D>0`  → 二次関数 `y=f(x)` は `x` 軸と異なる2点で交わる

 ・  `D=0`  → 二次関数 `y=f(x)` は `x` 軸と接する

 ・  `D<0`  → 二次関数 `y=f(x)` は `x` 軸と共有点を持たない

表1:二次関数 `f(x)` と二次方程式 `f(x)=0` の判別式 `D`

グラフのイメージ x軸と異なる2点で交わる x軸と接する x軸と共有点を持たない
判別式Dの値 `D>0` `D=0` `D lt 0`
二次方程式 `f(x)=0` の
解の個数
2個 1個 (重解) 0個 (解なし)
二次関数 `y=f(x)` と
`x` 軸との共有点
2個 1個(接する) 0個
脚注
解の公式
二次方程式の解の公式の導き方はこちらのページを参照。

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