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【二次関数】

【辞書】上に凸、下に凸 わからないところを質問する

このページでは、関数の「上に凸」「下に凸」について意味を解説します。

また、どちらに凸かを数式で見分ける方法として、

「二階微分」を使う方法を紹介します。(数学II 微分・積分 の内容です。)

「凸(とつ)」とは わからないところを質問する

まず、この「凸」という漢字は、字の形の通り、「出っぱっている」という意味だよ。

 

「凸」を使った言葉に、「凸レンズ」「凸凹(でこぼこ)」というものがあるけど、

両方とも「出っぱっている」ということを表しているよね。

「下に凸(したにとつ)」とは わからないところを質問する

下に凸な関数のグラフの例

数学の世界で「下に凸」と言ったら、それは

グラフが下側に出っぱっている」という意味だよ。

 

右の図のように見た目でもある程度は判断できるんだけど、

もう少し厳密に言うと、次のような意味になるよ。

 

  値の増え方が増えている。

  値の減り方が減っている。

「上に凸(うえにとつ)」とは わからないところを質問する

上に凸な関数のグラフの例

逆に、数学の世界で「上に凸」と言ったら、それは

グラフが上側に出っぱっている」という意味だよ。

 

これも見た目でもある程度は判断できるんだけど、

もう少し厳密に言うと、次のような意味になるよ。

 

  値の増え方が減っている。

  値の減り方が増えている。

一つの関数でも、場所によって凸の向きが変わる わからないところを質問する

例えば二次関数では、よく「下に凸な関数」という言い方をするんだけど、

これは、「関数全体が下に凸」という意味で使っています。

 

二次関数では、 `x^2` の係数が正だったら下に凸、

負だったら上に凸と、とてもわかりやすいよね。

 

でも、実は関数全体の凸の向きがずっと同じというのは特殊な場合なんだ。

 

変曲点がある関数の例

右の図のように、ある点を境に、凸の向きが逆になる場合があるよ。

 

こういう場合は、 `x` がここからここまでの範囲では上に凸で、

それを超えると下に凸になる、というような言い方をするんだ。

 

ちなみに、凸の向きが切り替わる点のことを「変曲点(へんきょくてん)」と呼ぶよ。

 

関数によっては、この「変曲点」が2ヶ所以上あることもあるよ。

二階微分と凸の関係(数学II 微分・積分 の範囲) わからないところを質問する

「微分」という方法を使うと、その関数の傾きを求めることができるんだ。

 

一次関数( `y=ax+b` )では、関数全体で傾きは一定( `a` )だけど、

それ以外の関数では、場所によって傾きも変わってくるので、

`x` が○○のとき、この関数の傾きは●」という言い方をするよ。

 

言い換えると、関数の傾きは、「 `x` の値によって変化する関数」と見なせるんだ。

 

 

さて、「傾き」というのは、「値の増え方」のことだよね。

 

だから、元の関数を微分してできた「傾きを表す関数」をもう一度微分すると、

傾きの増え方を表す関数」になるんだ。

 

この操作を「二階微分(にかいびぶん)」と呼ぶよ。

 

表1:二階微分と凸の対応

 

上のように、二階微分することで、その関数が上に凸か、下に凸か、

どこで切り替わるのかを簡単に見分けることができるよ。

脚注
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