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【二次関数】

【辞書】未知の定数の数と条件式の数(一次独立) わからないところを質問する

未知の定数の値を求めるには、同じ数の条件式が必要です。

その理由と「一次独立」という意味について解説します。

「未知の定数」と「変数」の違い わからないところを質問する

そもそも、「未知の定数」とは何でしょうか?

「変数」とはどう違うのでしょうか?

まずはこの辺りから解説していくよ。

 

「変数」とは、主に関数の用語

変数とは、例えば関数 `y=2x^2+3x-2` で言うと、 `x` と `y` のことだね。

 

「 `y` は `x` の関数」というとき、 `x` を「独立変数」、 `y` を「従属変数」と呼ぶよ。

 

「未知の定数」とは、主に方程式の用語

未知の定数とは、例えば方程式 `2a-1=3` や `x+2=5` の `a` や `x` のことだね。

(※文字の種類は関係ないよ!)

 

「値が決まっている(定数)けど、まだわからない(未知)数」という意味なので、

「値が自由に変化する数(変数)」とは区別して考える必要があるよ。

変数と未知の定数は両方同時に出てくることもある わからないところを質問する

例えば、二次関数 `y=ax^2+bx+c` では、変数( `x` と `y` )と、未知の定数( `a` と `b` と `c` )が両方出てくるよね。

 

この式は、「 `y` は `x` の二次関数なんだけど、どんな関数なのかは

定数の `a, b, c` が決まらないとわからない」ということを意味しているよ。

 

その式が関数なのか、方程式なのかや、その文字が変数なのか、定数なのかを常に意識しておくことは、

発展的な問題を解くときにはとても大切になるよ。

未知の定数の数と同じ数の条件式が必要 わからないところを質問する

未知の定数が1つだけのときは、条件式が1つあれば定数の値を求められるよ。

 

<代表例1:ただの方程式>

例えば、 `2x-1=3` という方程式は、式変形をすることで

`2x=4` 、 `x=2` とすぐに定数 `x` の値を求められるよね。

 

でも、未知の定数が2つ出てくる `x+2y=5` という式では、

これだけだと `x` と `y` の2つの定数を求めることはできないよね。

 

<代表例2:未知の定数が一つの関数>

例えば、関数 `y=2x+b` という関数には、未知の定数 `b` が含まれるけど、

「点 `(1, 3)` を通る」という1つの条件が与えられれば、

関数に `x=1, y=3` を代入して `3=2 xx 1 +b` として、 `b=1` と求められるよね。

 

でも、元の関数に `y=ax +b` というように2つの未知の定数が含まれていたら、

1つの条件式だけでは求められなくて、2つの式が必要ということになるよ。

 

このように、未知の定数の値を求めるためには、それと同じ数の条件式が必要になるよ。

 

逆に、未知の定数と同じ数の条件式があれば、原則として全ての定数の値を求めることができるよ。

 

ちなみに、「理論的に値を求めることができる」のと、「実際に計算できる」のは違うので、

いくら条件式がそろっていても、複雑すぎて計算できない、という困ったことも起こるんだ。

条件式の数の方が多い場合 わからないところを質問する

未知の定数の数よりも条件式の方が多い場合は、基本的には「解なし」になるよ。

 

例えば、未知の定数が1つしかないのに、

`{(2x=4),(3x=9):}`

というように2つの条件式が与えられてしまったら、

上の式からは `x=2` 、下の式からは `x=3` となり、

両方の条件式を同時に満たすことは不可能だよね。

 

このように、全ての条件式を同時に満たすような値が存在しないとき、「解なし」と言うよ。

 

ただし、下のような場合には、解が存在することもあるよ。

`{(2x=4),(3x=6):}`

この式では、両方の式が `x=2` となるので、「解がある」ということになるんだ。

この `2x=4` と `3x=6` の関係を「一次独立ではない」と言うよ。

「一次独立」とは? わからないところを質問する

では、そもそも「一次独立(いちじどくりつ)」とはどういうことか説明するね。

 

「一次独立」とは、「一次結合」で表せない関係のこと。

 

「一次結合」というのは、ひと言で言うと「かけて足す」ということだよ。

 

例えば、 `z =ax +by` ( `a, b` は定数)という関係が成り立つとき、

「 `z` は `x` と `y` の一次結合で表わせた」と言うよ。

確かに、 `x` に定数 `a` を、 `y` に定数 `b` を「かけて足して」表せているよね。

 

では、「一次独立ではない」関係を詳しく見てみよう。

 

<例1>

`{(y=2x+1 --(i)),(2y=4x+2 --(ii)):}`

この2つの式をよく見ると、(i)を2倍すると(ii)になるよね。

このように、「かけて足す」という変形によって、もう片方の式が表せるとき、

この2つの式は「一次独立ではない」と言うんだ。

 

<例2>

`{(a+b=3 --(iii)),(2a+b=4 --(iv)),(3a+2b=7 --(v)):}`

この3つの式も、 (iii)と(iv)を足すと(v)の式になるよね。

このような場合も、これらの3つの式は「一次独立ではない」と言うよ。

 

では、「一次独立」な関係とはどんな場合かを見てみよう。

 

<例3>

`{(x+y=3 --(vi)),(2x+y=4 --(vii)):}`

この2つの式では、どちらかの式を「かけて足す」(実数倍と足し算、引き算)だけでは

もう片方の式を表すことはできないよね。

このような関係を「一次独立である」というんだ。

 

<例4>

`{(a+b+c=6 --(viii)),(a+b+2c=7 --(ix)),(a+2b+c=8 --(x)):}`

これらの3つの式も、どれか2つを「かけて足す」だけでは残りの式を表すことはできないよね。

この3つの式の関係も「一次独立」と言うよ。

 

最後に重要なことだけど、未知の定数の数よりも条件式の数の方が多いときは、

それらの式は絶対に一次独立にはならないんだ。

 

また、未知の定数の数と同じだけ一次独立な関係の式があれば、

式変形をすれば必ず全ての定数の値を求めることができるよ。

 

だから、もしも求めたい定数の数よりも式の数が多くなってしまったり、

未知の定数の数だけ式を立てたのに、式変形で値が求められないときには、どこかに

全く同じことを言っている式(一次独立ではない式)が混ざっている」、ということになるよ。

脚注
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