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【二次関数】

【辞書】グラフの対称移動 わからないところを質問する

このページでは、グラフの対称移動の公式について解説します。

`y=f(x)` と `y=-f(x)` を比べてみよう わからないところを質問する

まず、 `y=f(x)` と `y=-f(x)` はどう違うか考えてみましょう。

 

関数 `f(x)` とは、「ある値 `x` を他の値に変換するルール」のことでした。

`y=-f(x)` は、 `f(x)` のそれぞれの値にマイナスをかけたものになります。

 

y=f(x)とy=-f(x)のグラフ

右の図のように、 `x` の値が変化したときに、 `f(x)` と `-f(x)` は

全ての点で正負が逆転した値になります。

これを言い換えると、 `y=f(x)` のグラフを `x` 軸について対称移動したということです。

 

また、 `y=-f(x)` は、両辺に `-1` をかけると `-y=f(x)` となります。

 

つまり、 `y=f(x)` の `y` を `-y` に置き換えて整理すると、

元の関数のグラフを `x` 軸について対称移動したグラフが得られるということです。

 

グラフを ` x ` 軸について対称移動したいときは ` y ` に `-y` を代入する。

 

`y=f(x)` と `y=f(-x)` を比べてみよう わからないところを質問する

次に、 `y=f(x)` と `y=f(-x)` のグラフはどのように違うのか、見てみましょう。

 

まずは、 `x` と `-x` の違いを整理してみます。

表1: `x` と `-x` の対応

`x` -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
`-x` 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

 

式からもわかりますが、 `x` と `-x` は、 `x=0` をはさんでちょうど反対になります。

これを踏まえて、 `f(x)` と `f(-x)` の違いを考えてみましょう。

 

y=f(x)とy=f(-x)のグラフ

例えば、 `x=3` のときを考えると、 `f(-x)` は `f(-3)` となります。

これは、 `f(x)` に `x=-3` を代入したのと同じです。

 

逆に、 `x=-3` のときを考えると、 `f(-x)` は `f(-(-3))=f(3)` となります。

これは、 `f(x)` に `x=3` を代入したのと同じです。

 

このような `f(x)=f(-(-x))` という関係が全ての `x` について成り立つので、

右の図のように、 `f(x)` と `f(-x)` は `y` 軸について対称なグラフとなります。

 

このことから、次の公式が導かれます。

 

グラフを ` y ` 軸について対称移動したいときは ` x ` に `-x` を代入する。

原点についての対称移動 わからないところを質問する

ここまでで、 `x` 軸についての対称移動と、 `y` 軸についての対称移動の公式が導けました。

最後に、原点についての対称移動(点対称)についてお話しします。

 

y=f(x)と-y=f(-x)のグラフ

といっても身構えるようなことではなく、原点についての対称移動とは、

`x` 軸についての対称移動と `y` 軸についての対称移動を同時に行うということです。

 

従って、公式もとてもシンプルで、次のようになります。

 

グラフを原点について対称移動したいときは

` x ` に `-x` を、 `y` に `-y` をそれぞれ代入する。

脚注
ある値 `x` を他の値に変換するルール
詳しくは辞書ページ「関数 `f(x)` の意味と、 `y`の値」を確認してください。

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