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【二次関数】

【辞書】二次関数のグラフの特徴 わからないところを質問する

このページでは、二次関数のグラフを決定するのに必要な要素や、グラフの特徴について解説します。

 

ある二次関数のグラフを言葉だけで説明するとき、最もわかりやすいのは、

グラフの形と位置について説明することだと思います。

 

では、グラフの形や位置と、 `y = ax^2 +bx +c` という式はどんな関係になっているのでしょうか。

 

「グラフの形」というのは、さらに分解すると「グラフの向き」と「開き具合」に分けることができます。

 

実は、この2つは両方とも `x^2` の係数 `a` のみによって決まるのです。

グラフの向き わからないところを質問する

下に凸、上に凸な二次関数

まず、`a` が正か負かによって、グラフの向きが決まります。

これは分かりやすいと思います。

言い換えると、軸の右側で `x` の値が大きくなったときに、

`y` の値が大きくなる(下に凸)か、小さくなる(上に凸)かということです。

 

`x` の値が大きいところでは、`x` に比べて `x^2` の方が断然大きくなるため、

`x^2` の係数以外の部分は無視することができる(グラフの形にほとんど影響しない)とも言えます。

グラフの開き具合 わからないところを質問する

二次関数のグラフの開き具合も、 `a` のみによって決まります。

aの値が大きい二次関数

`a` の値が大きければ大きいほど、 `y` の値は急激に大きくなるので、グラフの開きぐあいは狭くなります。

aの値が小さい二次関数

逆に、 `a` の値が小さいと、広がったグラフになります。

 

a=2,a=-2の二次関数

グラフの開き具合は、 `a` の絶対値によって決まるので、

例えば `a=2` と `a=-2` では、グラフの向きは逆になりますが、開き具合は同じになります。

グラフの平行移動、対称移動と `a` の値 わからないところを質問する

二次関数を平行移動する図

グラフの開き具合が `a` の絶対値だけによって決まるということは、

ある二次関数のグラフを平行移動、対称移動しても、 `a` の絶対値は変わらないということです。

この考え方は、【必修】2-2 二次関数の平行移動、対称移動などを解くときに使うことができます。

 

 二次関数のグラフを平行移動 → `x^2` の係数 `a` の絶対値も正負も同じ。

 二次関数のグラフを `y` 軸について対称移動 → `x^2` の係数 `a` の絶対値も正負も同じ。

 二次関数のグラフを `x` 軸について対称移動 → `x^2` の係数 `a` の絶対値は同じ、正負を逆転。

`a` と `b` によって軸の位置が決まる わからないところを質問する

残りの `b` と `c` のうち、 `b` によって二次関数の軸の位置がわかります。

 

二次関数の軸を求めるときは、 `y=a(x-p)^2+q` の形(標準形)が便利でした。

今見ている `y=ax^2 +bx +c` (二次関数の一般形)を軸の位置がわかるように変形します。

 

二次関数の軸

`y = ax^2 +bx+c`

   `=a(x^2 +(bx)/a) +c`  (← `a` でくくった。)

   `=a{(x +b/(2a))^2 -(b/(2a))^2} +c`  (← `(x +b/(2a))^2` の形を作った。)

   `=a(x+b/(2a))^2 -b^2/(4a) +c --(i)`

 

よって軸(=頂点の `x` 座標)の位置は `x=-b/(2a)` となります。

`c` は `y` 切片を表す わからないところを質問する

二次関数の切片と頂点のy座標

最後の `c` は、グラフの `y` 切片を表します。

なぜなら、 `y = ax^2 +bx +c` に `x=0` を代入すると `y=c` となり、

このグラフは必ず点 `(0, c)` を通るからです。

 

なお、先ほど求めた(i)の式から、このグラフの頂点の `y` 座標は

`-b^2/(4a)+c` であることがわかります。

二次関数のグラフは軸について左右対称 わからないところを質問する

最後に、グラフの対称性について考えます。

まずは、 `y=ax^2` について考えてみましょう。

 

`x` が2乗されてマイナスが打ち消されるため、

`x=x_1` と `x=-x_1` で `y` は同じ値になります。

言い換えると、この関数のグラフは `x =0` を境にして左右対称になります。

 

次に、 `y=a(x-p)^2` について考えてみましょう。

このグラフは、先ほどのように原点について対称にはなりませんが、

「 `(x-p)^2` 」を「点 `x` と点 `p` の距離の二乗」と読み替えると、

この関数のグラフが `x=p` (つまり点 `x` と点 `p` の距離が0の場所)について左右対称となることがわかります。

 

この直線 `x=p` を「二次関数の軸」と呼んでいるということです。

脚注
グラフの向き
上に凸か、下に凸か
絶対値
その値と原点(0)との距離(正の値)。
例えば、 `|2|=2, |-2|=2`
【必修】2-2 二次関数の平行移動、対称移動
二次関数のグラフを移動したらどうなるかを考えるカテゴリ。

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