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【二次関数】

【辞書】定義域と値域 わからないところを質問する

このページでは、関数の「定義域」と「値域」について意味を解説します。

 

定義域も値域も、両方とも関数に関連した用語です。

関数とは、「ある値を別の値に変換するルール」のことでした。

定義域とは わからないところを質問する

まず、定義域とは、関数によって変換する「元の値の取りうる範囲」のことです。

 

取りうる範囲を限定しない場合は、定義域が「ない」のではなく、

定義域は全ての実数」という言い方をします。

 

取りうる範囲が限定されるのは、「そもそもこの範囲しか値を取ることができない」という場合と、

問題の条件として勝手に範囲を決めている場合があります。

 

①「そもそもこの範囲しか値を取ることができない」場合

関数y=log_2 xのグラフ

 例えば、対数関数 `y = log_2 x` では、負の数の対数はそもそも存在しないので、

 `x > 0` が定義域になります。

 

 また、文章題や図形に関する問題でも、値を取る範囲が限定されることがよくあります。

 例えば、1,000円出して`x`円の物を買ったお釣りを `y` 円とすると、

 `y = 1000 -x` と表せますが、価格がマイナスの物は(一般には)ありませんし、

 1,000円よりも高いものは買えないので、定義域は `0 lt= x lt= 1000` となります。

 

 もう一つ、最も気をつけないといけないのは、置換をしたときです。

 置換というのは、例えば `y = (x^2 +1)^2 + 2(x^2 +1) +1` という関数があったときに、

 式を見やすくするために `A = x^2 +1` と置くようなことを言います。

 こうすると `y = A^2 +2A +1` のようになり、とてもわかりやすくなるのですが、

関数A=x^2+1のグラフ

 元の変数 `x` が全ての実数を取りうる場合、

 `A` の取りうる範囲( `A` の値域)は、`A >= 1` となります。

 

 従って、`y = A^2 +2A +1` の定義域( `A` の取りうる範囲)は、

 同じく `A >= 1` に限定されるのです。

置換したら範囲をチェック

 

 

②問題の条件として勝手に範囲を決めている場合

 これは、問題文の中で、予め関数を定義する範囲を決めているということです。

 二次関数の最大・最小を求める問題などでよく見かけます。

 

y=|x|のグラフ

 また、次の例のように、

 場所によって関数の式を使い分ける場合にも使われます。

 

 `{(y = -x (x lt 0)), (y = x (0 lt= x)) :}`

 

 こんなややこしいことをするのは、絶対値含んだ関数の場合など極めて稀です。

 出てきたら運が悪かったと思ってください。

値域とは わからないところを質問する

値域とは、関数によって変換された結果の取りうる範囲のことです。

 

先ほど、`A = x^2 +1` の取りうる値域は、`A >= 1` という例が既に出ていますが、

これはつまり、`x` に何を代入しても、`A lt 1`にはならないということです。

 

関数の最大・最小を求める問題というのは、言いかえると値域を求めているのとほぼ同じです。

定義域とは、関数に代入する値の取りうる範囲

値域とは、関数により変換された結果の取りうる範囲

ちなみに、定義域と値域を総称して「変域」とも言います。

脚注
関数
関数とは、「ある値を別の値に変換するルール」のこと。
二次関数の最大・最小を求める問題
例えば、【必修】2-4 二次関数の最大、最小(未知の定数なし) の(3)以降では、定義域が指定されています。

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