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【二次関数】

【辞書】平方完成 わからないところを質問する

二次関数の式変形の基本である「平方完成」のやり方と考え方を解説します。

平方完成とは わからないところを質問する

まず、「平方」とは「2乗」のことです。

`m^2` は「メートル2乗」ですが、「平方メートル」とも読みますよね。

 

なので、「平方完成」とは、「工夫して2乗の形を完成させること」を言います。

 

この「工夫して」というのがポイントです。

本来、因数分解だけでは2乗の形にならないものを、

「定数を工夫することで2乗の形を作る」という意味が込められています。

 

平方完成を最もよく使うのは、二次関数の単元です。

具体的に言うと、 `y = ax^2 +bx +c` という形(二次関数の一般形)の二次関数を

`y = a(x-p)^2 +q` という形(二次関数の標準形)に変形するのが平方完成という式変形です。

 

なぜこんなことをするのかというと、二次関数の頂点の座標を求めるためです。

(なぜこの形が頂点を表すのかについては、グラフの平行移動のページを確認してください。)

 

平方完成のやり方 わからないところを質問する

まず、`y = x^2 +2x +1` という二次関数を見てみましょう。

 

この式は、因数分解するだけで `y =(x +1)^2` と2乗の形になっています。

ラッキーですね。

 

では次に、`y = x^2 +2x` という二次関数を見てみましょう。

 

このままでは、因数分解はできますが、2乗の形にはなりません。

 

そこでどうするか?というと、この式と先ほどの `y = x^2 +2x +1` を見比べると、

+1があれば2乗になる!」と気付くのではないかと思います。

 

この考えのもと、次のように変形します。

 

`y = x^2 + 2x`

 `= x^2 +2x +1 -1` (←1を足したので、調整のために1を引いておく)

 `= (x +1)^2 -1` (←1を足したおかげで、2乗の形ができた!)

 

これで完成になります。慣れれば、とても簡単です。

 

 

念のため、別の例を見てみましょう。

 

`y = x^2 -4x` (←このままでは因数分解できない!)

 `= x^2 -4x +4 -4` (←4を足したので、調整のために4を引いておく)

 `= (x -2)^2 -4` (←4を足したおかげで、2乗の形ができた!)

何を足せばいいのか? わからないところを質問する

それでは、うまく平方完成するためには、何を足せばよいのでしょうか?

一般的に、`y = x^2 +2bx` の場合を考えてみましょう。

 

平方完成すると、2乗の部分以外に `x` は入らないので、

`(a +b)^2 = a^2 + 2ab +b^2`

を考えると、この式を平方完成するには、`(x +b)^2` を作る必要があります。

そのためには、定数項として、`b^2` を足してやるとよいのです。

 

`x` の係数が2の倍数でない場合には、残念ですが `b^2` は分数になります。

 

例えば、`y = x^2 +3x` という式の場合には、`(x +3/2)^2`という形にしないといけないので、

 

`y = x^2 + 3x`

 `= x^2 +3x +(3/2)^2 -(3/2)^2` (←分数を足す必要がある)

 `= (x +3/2)^2 -9/4` (←なんとか2乗の形ができた!)

 

こういう問題は、計算ミスをしないように細心の注意を払う必要がありますね。

もう少し複雑な場合 わからないところを質問する

①もともと定数がある場合

 `y = x^2 +2x -3` のように、もともと定数がある場合は、定数を無視して平方完成していきます。

 

 `y = x^2 + 2x -3`

  `= x^2 +2x +1 -1 -3` (←-3は無視して平方完成を進める)

  `= (x +1)^2 -4` (←最後に定数部分をまとめる)

 

② `x^2` の係数が1以外の場合

 `y = 2x^2 +4x` のように、`x^2` の係数が1ではない場合は、先にその係数でくくってから平方完成します。

 

 `y = 2x^2 + 4x`

  `= 2(x^2 +2x)` (←2でくくった)

  `= 2(x^2 +2x +1 -1)` (←()の中で定数を調整)

  `= 2{(x +1)^2 -1}` (←2乗の形を作る)

  `= 2(x +1)^2 -2` (←定数部分をまとめた)

 

 この場合も、間違えないように細心の注意が必要です。

 

 

以上をまとめると次のようになります。

`y = ax^2 +bx +c`

 `=a(x +b/(2a))^2 -b^2/(4a) +c`

平方完成ができないと二次関数はほぼ全滅するので、必ずマスターしよう!

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