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【二次関数】

【辞書】二次関数の表し方 わからないところを質問する

二次関数の表し方は無限にあるのですが、ここではその中でよく使われる

「標準形」と「一般形」について解説します。

二次関数の標準形 わからないところを質問する

「標準形」とは、次のような形を言います。

二次関数の標準形:`y = a(x-p)^2 +q`

標準形は、二次関数の大きな特徴である頂点の座標がわかりやすい形です。

この式を見ただけで、「頂点が `(p, q)` の二次関数なんだな」とわかります。便利ですね。

 

逆に、二次関数の頂点の座標を求めたいときは、平方完成によって標準形に変形します。

なぜこの形が頂点を表すのかについては、グラフの平行移動のページを確認してください。

二次関数の一般形 わからないところを質問する

二次関数の一般形:`y = ax^2 +bx +c`

一般形は、最もシンプルな形です。

二次関数に限らず、一次関数( `y = ax +b` )や、三次関数( `y = ax^3 + bx^2 +cx +d` )、

それ以上の高次関数でも同じ形で表すことができることから、「一般形」という名前が付いています。

標準形と一般形以外の表し方 わからないところを質問する

二次関数を文字を使って表す場合は、ほとんどは上の「標準形」か「一般形」を

使うのが最も手っとり早いのですが、たまに次の形も使います。

二次関数のグラフと `x` 軸との交点に着目した表し方

 `y = a(x-alpha)(x-beta)`

この形を使うと、この二次関数が「 `x = alpha, beta` の2点で `x` 軸と交わる」ことがわかります。

例えば、「ある二次関数が、2点 `(alpha, 0), (beta, 0)`を通る」というような問題で活躍します。

 

最初に「二次関数の表し方は無限にある」と書きましたが、例えば次のものがあります。

 `y = a(x-1)^2 +b(x-1) +c`

 `y = a(x-2)^2 +b(x-2) +c`

  ・・・

 

ちょっとだまされたような気がする人もいるかもしれませんが、

要は、定数部分(上の式の `a, b, c, p, q, alpha, beta` など)を調整することで、

全ての二次関数が表せる形であれば何でもいいということです。

 

逆に、あらゆる二次関数は、上の3つの方法のどれでも表すことができます。

例えば、最も簡単な二次関数である `y = x^2` という関数は、

 

 標準形に `a=1, p=0, q=0` を代入

 一般形に `a=1, b=0, c=0` を代入

 `x`軸との交点に着目した形に `a=1, alpha=0, beta=0` を代入

 

のどれを使っても表せます。

 

別の例として、一般形で `y = x^2 + 4x -1` と表せる二次関数は、

 

 標準形では `y = (x+2)^2 -5`

 `x`軸との交点に着目した形では `y = (x+2+sqrt 5)(x+2-sqrt 5)`

 

というように表せます。(わからない人は実際に展開してみよう。)

 

この例でわかるように、どの形を使うかによって式がとてもややこしくなることがあります。

それぞれの形の意味をよく考えて、最も速く簡単に答えを導けるものを選びましょう。

どんな形でも、わからない文字は3つ わからないところを質問する

上の式を見ていて、二次関数をどんな形で表しても未知の定数は3つ

ということに気付いた人もいるのではないでしょうか。

 標準形では、 `a, p, q` の3つ

 一般形では、 `a, b, c` の3つ

 `x`軸との交点に着目した形では、 `a, alpha, beta` の3つ

 

これは、非常に重要なので、また今度詳しく解説します。

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