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わかりMATHトップ > 二次関数 > 【まとめ】2-5 二次関数の最大、最小(未知の定数あり)
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【まとめ】2-5 二次関数の最大、最小(未知の定数あり) わからないところを質問する

このカテゴリでは、二次関数最大・最小を求める問題のうち、

関数または定義域未知の定数を含むものを扱います。

 

未知の定数を含まない問題については、【必修】2-4 二次関数の最大・最小(未知の定数なし)で扱います。

 

このカテゴリは、ほとんどの問題で場合分けが必要となり、多くの皆さんが苦手とするところです。

どのように場合分けすればよいかを身につけるのがこのカテゴリのゴールです。

カテゴリの見分け方 わからないところを質問する

問題文中の以下のような表現に注目します。

 「最大値」「最小値」

未知の定数を含まない問題については、【必修】2-4 二次関数の最大・最小(未知の定数なし)で扱います。

 

問題文の例

 「次の二次関数の最大値と最小値があれば、その値を求めよ。」

 「次の二次関数のとりうる値の範囲を求めよ。」

解答の方針 わからないところを質問する

常に意識してほしいのは、次のポイントです。

軸と定義域の位置関係により、5つの場合がある。

表1:下に凸な二次関数の最大値と最小値

軸が定義域よりも右にある場合 軸が定義域の右半分にある場合 軸が定義域の中央にある場合 軸が定義域の左半分にある場合 軸が定義域よりも左にある場合
最大値 定義域の左端 定義域の両端 定義域の右端
最小値 定義域の右端 頂点 定義域の左端
軸の位置 定義域よりも右 定義域の右半分 定義域の中央 定義域の左半分 定義域よりも左

なぜこの5つのパターンになるのかがよくわからない人は、先に【必修】2-4 二次関数の最大・最小(未知の定数なし)をマスターしましょう。

 

解き方は、次の手順になります。

①平方完成をして軸の場所を求める。

②未知の定数がどこに含まれるか確認する。

  A:軸に含む場合→軸が動く

  B:定義域の端に含む場合→定義域が動く

  C:どちらでもない場合→軸も定義域も動かない

③軸と定義域の位置関係によって最大5つに場合分けし、それぞれの場合のグラフを書いて最大値・最小値を求める。

具体的なやり方については、【必修】2-5 二次関数の最大・最小(未知の定数あり)で見ていきましょう。

脚注
定義域
`x` が動く範囲
未知の定数
変数ではないが、わからない文字
【必修】2-4 二次関数の最大・最小(未知の定数なし)
関数の式にも定義域にも未知の定数がないもの
【必修】2-5 二次関数の最大・最小(未知の定数あり)
このカテゴリの必修問題。
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